等周不等式

1. $A,B$がともに1つの左半開矩形であるとき, 各辺の長さを$a_i,b_i~(i = 1,\cdots,d)$とすると, 示すべき不等式は
   $$ \left(\prod_{i = 1}^{d}(a_i + b_i)\right)^{\frac{1}{d}} \ge \left(\prod_{i = 1}^{d}a_i\right)^{\frac{1}{d}} + \left(\prod_{i = 1}^{d}b_i\right)^{\frac{1}{d}}. $$
   両辺を左辺で割れば
   $$1 \ge \left(\prod_{i = 1}^{d}\frac{a_i}{a_i + b_i}\right)^{\frac{1}{d}} + \left(\prod_{i = 1}^{d}\frac{b_i}{a_i + b_i}\right)^{\frac{1}{d}}. $$
   これは相加相乗平均の不等式から従う.

2. $A$は$n_A$個, $B$は$n_B$個の互いに素な左半開矩形の和集合のとき, 目的の不等式を$n = n_A + n_B$に関する帰納法で示す. $n = 2$の場合は(i)で証明されている. 以下$n \ge 3$とする. $n_A \ge 2$としてよい. 目的の不等式は矩形の合計が$n$個未満の場合に成立しているとする. 矩形は互いに素という仮定から, $A$から任意で矩形を2つ取ると, 適切な平行移動によりある$i \in \{1,\cdots,d\}$によって一方は$A_+ := A\cap\{x_i \ge 0\}$に含まれ, もう一方は$A_-:= A\cap\{x_i < 0\}$に含まれるようにできる. 定義から$A_{\pm}$を構成する矩形の数は$n_A - 1$個以下であり, $A = A_+ \sqcup A_-$となっている.
   次に, $B$を適切に平行移動し, $B_+ := B\cap\{x_i \ge 0\},~B_- := B\cap\{x_i < 0\}$が
   $$ \frac{L^d(B_{\pm})}{L^d(B)} = \frac{L^d(A_{\pm})}{L^d(A)} $$
   を満たすようにする. ここで$A + B \supset (A_+ + B_+) \sqcup (A_- + B_-)$である. また$B_{\pm}$を構成する矩形の数は$n_B$個以下であり, $A_+ + B_+$及び$A_- + B_-$を構成する矩形の数は$n_A - 1 + n_B = n - 1$個以下になっている. よって帰納法の仮定から
   \begin{align*} L^d(A + B) &\ge L^d(A_+ + B_+) + L^d(A_- + B_-)\\ &\ge \left(L^d(A_+)^{\frac{1}{d}} + L^d(B_+)^{\frac{1}{d}}\right)^d + \left(L^d(A_-)^{\frac{1}{d}} + L^d(B_-)^{\frac{1}{d}}\right)^d\\ &= L^d(A_+)\left(1 + \left(\frac{L^d(B)}{L^d(A)}\right)^{\frac{1}{d}}\right)^d + L^d(A_-)\left(1 + \left(\frac{L^d(B)}{L^d(A)}\right)^{\frac{1}{d}}\right)^d\\ &= L^d(A)\left(1 + \left(\frac{L^d(B)}{L^d(A)}\right)^{\frac{1}{d}}\right)^d\\ &= \left(L^d(A)^{\frac{1}{d}} + L^d(B)^{\frac{1}{d}}\right)^d. \end{align*}

3. 左半開矩形からなる集合の増大列を考えることで, 目的の不等式が開集合の場合に対しても成り立つことがわかる. $A_+(\delta) := \{x \in \Rr^d:\mathrm{dist}(x,A) < \delta\}$と$B_+(\delta)$を考えて$\delta \searrow 0$とすることによって任意のコンパクト集合に対しての成立がわかり, Lebesgue測度の内正則性から任意のLebesgue可測集合に対しての成立もわかる.

$U \cap \partial\Omega = \emptyset$とすると$U = (U\cap\Omega^i)\sqcup(U\cap\Omega^e)$であるが, これは$U$が2つの空でない開集合に分離されることを意味し, $U$の連結性に矛盾する.

$\partial\Omega = \overline{\Omega}\cap\overline{\Omega^c}$より$\mathrm{dist}(x,\overline{\Omega^c}) = \mathrm{dist}(x,\Omega^c) \le \mathrm{dist}(x,\partial\Omega)$. 逆について, $x \in \partial\Omega$なら明らか. $x \in \Omega^i$のとき, $\mathrm{dist}(x,\partial\Omega) > 0$である. 任意の$r \in (0,\mathrm{dist}(x,\partial\Omega))$について, $B(x,r)\cap\Omega^c \neq \emptyset$とすると, $B(x,r)$には$\Omega$の元と$\Omega^c$の元が両方あり, partialomegaから$\partial\Omega$の元も存在する. その元と$x$の距離は$r$未満になるが, これは$r$の取り方に矛盾する. よって$B(x,r) \subset \Omega,~\mathrm{dist}(x,\Omega^c) \ge r$. $r \nearrow \mathrm{dist}(x,\partial\Omega)$として$\mathrm{dist}(x,\Omega^c) \ge \mathrm{dist}(x,\partial\Omega)$を得る.

各$\delta > 0$に対し
\begin{align*} \Omega_+(\delta) &= \{x \in \Rr^d:\mathrm{dist}(x,\Omega) < \delta\}\\ \Omega_-(\delta) &= \{x \in \Rr^d:\mathrm{dist}(x,\Omega^c) \ge \delta\}\\ \partial\Omega(\delta) &= \{x \in \Rr^d:\mathrm{dist}(x,\partial\Omega) < \delta\} \end{align*}
とする.

1. $\Omega \subset \Omega_+(\delta),~\Omega^c \subset \Omega_-(\delta)^c$より$\Omega_-(\delta) \subset \Omega \subset \Omega_+(\delta)$である. また
   $$ \Omega_+(\delta) = \Omega_-(\delta) \sqcup \partial\Omega(\delta) $$
   が次のようにしてわかる. 右辺の2つの集合は$\Omega_+(\delta)$に含まれているから右辺は左辺に含まれる. 逆の包含について, $x \in (\Omega_-(\delta)\cup\partial\Omega(\delta))^c = \Omega_-(\delta)^c\cap\partial\Omega(\delta)^c$をとると, distより$x \notin \overline{\Omega},~x \in \Omega^e \subset \Omega^c$である. よって
   $$ \mathrm{dist}(x,\Omega) = \mathrm{dist}(x,(\Omega^c)^c) = \mathrm{dist}(x,\partial(\Omega^c)) = \mathrm{dist}(x,\partial\Omega) \ge \delta. $$
   従って$x \in \Omega_+(\delta)^c,~(\Omega_-(\delta)\cup\partial\Omega(\delta))^c \subset \Omega_+(\delta)^c$. $\Omega_-(\delta)\cap\partial\Omega(\delta) = \emptyset$については, distにより$x \in \Omega_-(\delta) \Rightarrow x \notin \partial\Omega(\delta)$となることから従う.

2. また
   \begin{align*} &\Omega_+(\delta) \supset \Omega + B(\delta)\\ &\Omega \supset \Omega_-(\delta) + B(\delta) \end{align*}
   となっている. 実際, 上段について$x \in \Omega,~y \in B(\delta)$とすると
   $$ \mathrm{dist}(x + y,\Omega) = \inf_{z \in \Omega}|x + y - z| < \inf_{z \in \Omega}|x - z| + \delta = \mathrm{dist}(x,\Omega) + \delta = \delta $$
   より$x + y \in \Omega_+(\delta)$. また下段について, $x \in \Omega_-(\delta),~y \in B(\delta)$とすると
   $$ \mathrm{dist}(x + y,\Omega^c) = \inf_{z \in \Omega^c}|x + y - z| > \inf_{z \in \Omega^c}|x - z| - \delta = \mathrm{dist}(x,\Omega^c) - \delta \ge 0 $$
   より$\mathrm{dist}(x + y,\partial\Omega) \ge \mathrm{dist}(x + y,\Omega^c) > 0$であり, $x + y$は$\Omega$の内点である.

3. 上段の包含とBrunn-Minkowskiの不等式から
   \begin{align*} L^d(\Omega_+(\delta)) &\ge L^d(\Omega + B(\delta))\\ &\ge \left(L^d(\Omega)^{\frac{1}{d}} + L^d(B(\delta))^{\frac{1}{d}}\right)^d\\ &\ge L^d(\Omega) + d \cdot L^d(B(\delta))^{\frac{1}{d}} \cdot L^d(\Omega)^{\frac{d - 1}{d}}\\ &= L^d(\Omega) + d \cdot \omega_d^{\frac{1}{d}}\delta \cdot L^d(\Omega)^{\frac{d - 1}{d}}. \end{align*}
   同様に下段の包含から
   $$ L^d(\Omega) \ge L^d(\Omega_-(\delta)) + d \cdot \omega_d^{\frac{1}{d}}\delta \cdot L^d(\Omega_-(\delta))^{\frac{d - 1}{d}}. $$
   よって
   $$ L^d(\Omega_+(\delta)) - L^d(\Omega_-(\delta)) \ge d \cdot \omega_d^{\frac{1}{d}}\delta \left(L^d(\Omega)^{\frac{d - 1}{d}} + L^d(\Omega_-(\delta))^{\frac{d - 1}{d}}\right). $$
   (i)から
   $$ \frac{L^d(\partial\Omega(\delta))}{2\delta} \ge d \cdot \omega_d^{\frac{1}{d}} \cdot \frac{L^d(\Omega)^{\frac{d - 1}{d}} + L^d(\Omega_-(\delta))^{\frac{d - 1}{d}}}{2}. $$

4. 最後に$\liminf_{\delta \searrow 0}\Omega_-(\delta) = \Omega$を示す. $\Omega_-(\delta)$は単調減少するので$\bigcup_{\delta > 0}\Omega_-(\delta) = \Omega$を示せばよい. $\bigcup_{\delta > 0}\Omega_-(\delta) \subset \Omega$は明らか. 逆の包含について, $\Omega$は開集合であるから$x \in \Omega$に対し$B(x,r) \subset \Omega$なる$r > 0$が取れる. よって$\mathrm{dist}(x,\Omega^c) \ge r$であり, $\delta \le r$なら$x \in \Omega_-(\delta)$.