[定理03]|ω|≦1,ω∉Rで ∑n=1∞ωnn=ω∫0111−ωxdx=−log(1−ω)ただし,分枝を考慮する必要がある.とくに,3以上の自然数pで,ω=cos2πp+isin2πpのとき, ∑n=1∞ωnn=−log(2sinπp)+i(π2−πp)
[証明]ω=R(cosθ+isinθ),0<R<1とおく.∑n=1Nωnn=∑n=1Nωn∫01xn−1dx=ω∫011−(ωx)N1−ωxdx ここで,N→0のとき,|ω∫01(ωx)N1−ωxdx|≦|∫01xN1ω−xdx|∫01xN1ω−xdx=∫01xN(cosθR−x+isinθR)(cosθR−x)2+(sinθR)2dx|∫01xN1ω−xdx|≦|∫012xN(sinθR)2dx|+|∫01xNsinθR(sinθR)2dx|→0∑n=1Nωnn→ω∫0111−ωxdxとくに,R=1,=θ=2πpのとき,∫0111ω−xdx=∫01cosθ−x+isinθ(cosθ−x)2+(sinθ)2dx∫0111ω−xdx=∫01cosθ−x(cosθ−x)2+(sinθ)2dx+i∫01sinθ(cosθ−x)2+(sinθ)2dx実数部分は,∫01cosθ−x(cosθ−x)2+(sinθ)2dx=−log|(cosθ−1)2+(sinθ)2|2=−log(2sinθ2)虚数部分は,x−cosθ=tsinθと置換して,,−cosθsinθ=tan(θ−π2),1−cosθsinθ=tanθ2∫011(cosθ−x)2+(sinθ)2dx=∫tan(θ−π2)tanθ211+t2dt=π2−θ2∑n=1∞ωnn=ω∫0111−ωxdx=−log(2sinπp)+i(π2−πp)よって,成り立つ.□□
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