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無限級数その2

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[定理03]
|ω|1,ωR
  n=1ωnn=ω0111ωxdx=log(1ω)
ただし,分枝を考慮する必要がある.
とくに,3以上の自然数pで,ω=cos2πp+isin2πpのとき,
  n=1ωnn=log(2sinπp)+i(π2πp)

[証明]
ω=R(cosθ+isinθ),0<R<1とおく.
n=1Nωnn=n=1Nωn01xn1dx=ω011(ωx)N1ωxdx
ここで,N0のとき,
|ω01(ωx)N1ωxdx||01xN1ωxdx|
01xN1ωxdx=01xN(cosθRx+isinθR)(cosθRx)2+(sinθR)2dx
|01xN1ωxdx||012xN(sinθR)2dx|+|01xNsinθR(sinθR)2dx|0
n=1Nωnnω0111ωxdxとくに,R=1θ2πpのとき,
0111ωxdx=01cosθx+isinθ(cosθx)2+(sinθ)2dx
0111ωxdx=01cosθx(cosθx)2+(sinθ)2dx+i01sinθ(cosθx)2+(sinθ)2dx
実数部分は,
01cosθx(cosθx)2+(sinθ)2dx=log|(cosθ1)2+(sinθ)2|2=log(2sinθ2)
虚数部分は,xcosθ=tsinθと置換して,
cosθsinθ=tan(θπ2)1cosθsinθ=tanθ2
011(cosθx)2+(sinθ)2dx=tan(θπ2)tanθ211+t2dt=π2θ2
n=1ωnn=ω0111ωxdx=log(2sinπp)+i(π2πp)
よって,成り立つ.□□

投稿日:2024123
更新日:2024125
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