無限級数その２

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［定理03］
$| ω |$ $≦$ 1, $ω$ $\notin$ $R$ で
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ω^{n}}{n} = ω \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - ω x} d x = - \log (1 - ω)$
ただし，分枝を考慮する必要がある．
とくに，3以上の自然数 $p$ で， $ω$ = $\cos$ $\frac{2 π}{p}$ + $i$ $\sin$ $\frac{2 π}{p}$ のとき，
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ω^{n}}{n} = - \log (2 \sin \frac{π}{p}) + i (\frac{π}{2} - \frac{π}{p})$

［証明］
$ω = R (\cos θ + i \sin θ), 0 < R < 1$ とおく．
$\sum_{n = 1}^{N} \frac{ω^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{N} ω^{n} \int_{0}^{1} x^{n - 1} d x = ω \int_{0}^{1} \frac{1 - (ω x)^{N}}{1 - ω x} d x$
ここで， $N$ $\to$ 0のとき，
$| ω \int_{0}^{1} \frac{(ω x)^{N}}{1 - ω x} d x | ≦ | \int_{0}^{1} \frac{x^{N}}{\frac{1}{ω} - x} d x |$
$\int_{0}^{1} \frac{x^{N}}{\frac{1}{ω} - x} d x = \int_{0}^{1} \frac{x^{N} (\frac{\cos θ}{R} - x + i \frac{\sin θ}{R})}{(\frac{\cos θ}{R} - x)^{2} + (\frac{\sin θ}{R})^{2}} d x$
$| \int_{0}^{1} \frac{x^{N}}{\frac{1}{ω} - x} d x | ≦ | \int_{0}^{1} \frac{2 x^{N}}{(\frac{\sin θ}{R})^{2}} d x | + | \int_{0}^{1} \frac{x^{N} \frac{\sin θ}{R}}{(\frac{\sin θ}{R})^{2}} d x | \to 0$
$\sum_{n = 1}^{N} \frac{ω^{n}}{n} \to ω \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - ω x} d x$ とくに， $R = 1$ ， $θ ＝ \frac{2 π}{p}$ のとき，
$\int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{1}{ω} - x} d x = \int_{0}^{1} \frac{\cos θ - x + i \sin θ}{(\cos θ - x)^{2} + (\sin θ)^{2}} d x$
$\int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{1}{ω} - x} d x = \int_{0}^{1} \frac{\cos θ - x}{(\cos θ - x)^{2} + (\sin θ)^{2}} d x + i \int_{0}^{1} \frac{\sin θ}{(\cos θ - x)^{2} + (\sin θ)^{2}} d x$
実数部分は，
$\int_{0}^{1} \frac{\cos θ - x}{(\cos θ - x)^{2} + (\sin θ)^{2}} d x = - \frac{\log | (\cos θ - 1)^{2} + (\sin θ)^{2} |}{2} = - \log (2 \sin \frac{θ}{2})$
虚数部分は， $x - \cos θ = t \sin θ$ と置換して，
$\frac{- \cos θ}{\sin θ} = \tan (θ - \frac{π}{2}) ， \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} = \tan \frac{θ}{2}$
$\int_{0}^{1} \frac{1}{(\cos θ - x)^{2} + (\sin θ)^{2}} d x = \int_{\tan (θ - \frac{π}{2})}^{\tan \frac{θ}{2}} \frac{1}{1 + t^{2}} d t = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ω^{n}}{n} = ω \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - ω x} d x = - \log (2 \sin \frac{π}{p}) + i (\frac{π}{2} - \frac{π}{p})$
よって，成り立つ．□□

投稿日：2024年12月3日

更新日：2024年12月5日

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