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高校数学解説
文献あり

京大理系数学2018-2

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問題2

n37n+9が素数となるような整数nを全て求めよ.

考察

n37n+9は因数分解できませんね.
まず,mod2で考えてみましょう.
n0(mod2)とすると,n37n+91(mod2).
n1(mod2)とすると,n37n+91(mod2).
とりあえず,n37n+9は奇素数であることが分かりますね.
次に,mod4で考えてみます.
n0(mod4)とすると,n37n+91(mod4).
n1(mod4)とすると,n37n+93(mod4).
n2(mod4)とすると,n37n+93(mod4).
n3(mod4)とすると,n37n+93(mod4).
2nの系列だと情報が引き出しにくそうですね.
次に,mod3で考えてみます.
n0(mod3)とすると,n37n+90(mod3).
n1(mod3)とすると,n37n+90(mod3).
n2(mod3)とすると,n37n+90(mod3).
やりました.

解答

考察より,n37n+9が素数となるならそれは3である.よってn37n+9=3を解いて,n=3,1,2である.

参考文献

[1]
本庄隆, 京大の理系数学27カ年[第10版]
投稿日:20241129
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はじめまして!楽しい記事を書ければと思いますので、よろしくお願いします。

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