京大理系数学2018-2

考察

$n^3-7n+9$は因数分解できませんね．
まず，mod$2$で考えてみましょう．
$n\equiv0$（mod$2$）とすると，$n^3-7n+9\equiv1$（mod$2$）．
$n\equiv1$（mod$2$）とすると，$n^3-7n+9\equiv1$（mod$2$）．
とりあえず，$n^3-7n+9$は奇素数であることが分かりますね．
次に，mod$4$で考えてみます．
$n\equiv0$（mod$4$)とすると，$n^3-7n+9\equiv1$（mod$4$）．
$n\equiv1$（mod$4$)とすると，$n^3-7n+9\equiv3$（mod$4$）．
$n\equiv2$（mod$4$)とすると，$n^3-7n+9\equiv3$（mod$4$）．
$n\equiv3$（mod$4$)とすると，$n^3-7n+9\equiv3$（mod$4$）．
$2^n$の系列だと情報が引き出しにくそうですね．
次に，mod$3$で考えてみます．
$n\equiv0$（mod$3$)とすると，$n^3-7n+9\equiv0$（mod$3$）．
$n\equiv1$（mod$3$)とすると，$n^3-7n+9\equiv0$（mod$3$）．
$n\equiv2$（mod$3$)とすると，$n^3-7n+9\equiv0$（mod$3$）．
やりました．

解答

考察より，$n^3-7n+9$が素数となるならそれは$3$である．よって$n^3-7n+9=3$を解いて，$n=-3,1,2$である．