Terminating 9F8, non-terminating 7F6の二項変換公式

Baileyのterminating 10φ9の変換公式の古典極限として, $_{9} F_{8}$ の二項変換公式を得ることができる.

Baileyのterminating

_{9} F_{8}

二項変換公式

$n$ を非負整数, $w = 1 + 2 a - b - c - d, 2 + 3 a + n = b + c + d + e + f + g$ のとき,
$\begin{aligned} _{9} F_{8} [\begin{array}{c} a, 1 + \frac{a}{2}, b, c, d, e, f, g, - n \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - d, 1 + a - e, 1 + a - f, 1 + a - g, 1 + a + n \end{array}; 1] \\ = \frac{(1 + a, 1 + a - e - f, 1 + w - e, 1 + w - f)_{n}}{(1 + a - e, 1 + a - f, 1 + w, 1 + w - e - f)_{n}} \\ \cdot_{9} F_{8} [\begin{array}{c} w, 1 + \frac{w}{2}, w + b - a, w + c - a, w + d - a, e, f, g, - n \\ \frac{w}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - d, 1 + w - e, 1 + w - f, 1 + w - g, 1 + w + n \end{array}; 1] \end{aligned}$
が成り立つ.

特に, $g, n$ 以外の変数を固定して $n \to \infty$ とすることによって, 以下を得ることができる.

Non-terminating

_{7} F_{6}

の二項変換公式

$w = 1 + 2 a - b - c - d$ としたとき,
$\begin{aligned} _{7} F_{6} [\begin{array}{c} a, 1 + \frac{a}{2}, b, c, d, e, f \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - d, 1 + a - e, 1 + a - f \end{array}; 1] \\ = \frac{Γ (1 + a - e) Γ (1 + a - f) Γ (1 + w) Γ (1 + w - e - f)}{Γ (1 + a) Γ (1 + a - e - f) Γ (1 + w - e) Γ (1 + w - f)} \\ \cdot_{7} F_{6} [\begin{array}{c} w, 1 + \frac{w}{2}, w + b - a, w + c - a, w + d - a, e, f \\ \frac{w}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - d, 1 + w - e, 1 + w - f \end{array}; 1] \end{aligned}$
が成り立つ.