Terminating 9F8, non-terminating 7F6の二項変換公式
Baileyのterminating 10φ9の変換公式 の古典極限として, ${}_9F_8$の二項変換公式を得ることができる.
$n$を非負整数, $w=1+2a-b-c-d, 2+3a+n=b+c+d+e+f+g$のとき,
\begin{align}
&\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,-n}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a+n}1\\
&=\frac{(1+a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_n}{(1+a-e,1+a-f,1+w,1+w-e-f)_n}\\
&\cdot\F98{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,e,f,g,-n}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e,1+w-f,1+w-g,1+w+n}1
\end{align}
が成り立つ.
特に, $g,n$以外の変数を固定して$n\to\infty$とすることによって, 以下を得ることができる.
$w=1+2a-b-c-d$としたとき,
\begin{align}
&\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\
&=\frac{\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+w)\Gamma(1+w-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-e-f)\Gamma(1+w-e)\Gamma(1+w-f)}\\
&\cdot\F76{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,e,f}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e,1+w-f}{1}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事 の定理2の古典極限は以下のようになる.
$v=2+3a-2b-c-d-e-f, 2+3a+n=b+c+d+e+f+g$とするとき,
\begin{align}
&\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,-n}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a+n}1\\
&=\frac{(b,1+a,2+2a-b-d-e-f,2+2a-b-c-e-f,2+2a-b-c-d-f,2+2a-b-c-d-e)_n}{(1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+v,2+2a-b-c-d-e-f)_n}\\
&\qquad\cdot\F98{v,1+\frac v2,v+b-a,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e,1+a-b-f,g,-n}{\frac v2,1+a-b,2+2a-b-d-e-f,2+2a-b-c-e-f,2+2a-b-c-d-f,2+2a-b-c-d-e,1+v-g,1+v+n}1
\end{align}
が成り立つ.
$g,n$以外の変数を固定して$n\to\infty$とすると以下を得る.
$v=2+3a-2b-c-d-e-f$とするとき,
\begin{align}
&\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\
&=\frac{\Gamma(b)\Gamma(1+a)\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-b-c-e-f)\Gamma(2+2a-b-c-d-f)\Gamma(2+2a-b-c-d-e)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+v)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f)}\\
&\qquad\cdot\F76{v,1+\frac v2,v+b-a,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e,1+a-b-f}{\frac v2,1+a-b,2+2a-b-d-e-f,2+2a-b-c-e-f,2+2a-b-c-d-f,2+2a-b-c-d-e}1
\end{align}
が成り立つ.
