高校数学解説

正多角形の愉快な性質

初等幾何,高校数学

はじめに

こんにちは、今回はちょっとした正多角形の性質を自分で発見したものも含めて紹介していきたいと思います。
前回の記事も正多角形に関わる内容になっているので気になった人はぜひ見てみてください！

正7角形

これから考える正多角形はすべて半径1の円に内接しているものとする。

正七角形の性質

上の３線分長$a,b,c$について次の３つの等式が成立する。

$$ \frac{1}{{\color{#E07A5F}a}} = \frac{1}{{\color{#FF862F}b}} + \frac{1}{{\color{#525893}c}} $$

$$ \left( {\color{#E07A5F}a} {\color{#FF862F}b} {\color{#525893}c} \right)^2 = {\color{#E07A5F}a}^2 + {\color{#FF862F}b}^2 + {\color{#525893}c}^2 = 7 $$

$$ {\color{#E07A5F}a} {\color{#FF862F}b} {\color{#525893}c} = {\color{#FF862F}b} + {\color{#525893}c} - {\color{#E07A5F}a} = \sqrt{7} $$

どうでしょう？１つ目の式は有名ですね、トレミーの定理から簡単に示せます。
自分のお気に入りは２番目の等式です。３つの数$a^2,b^2,c^2$が足しても掛けても等しく、7という頂点の値と等しくなるというのは驚きです。しかもなんとこの式、7以外のすべての正多角形でも成り立ちます!

今回発見した定理

定理を紹介します。

半径1の円に内接する正$n$角形を考える。

$n$が奇数の場合

図２で示される$\displaystyle\frac{n-1}{2}$本の線分の長さの二乗は、すべてを足しても掛けても$n$になる

$n$が偶数の場合

図３で示される$\displaystyle\frac{n}{2}-1$本の線分の長さと$\sqrt{2}$の二乗は、すべてを足しても掛けても$n$になる

nが偶数の場合は注意してください。点線と重なる対角線の長さは$2$ではなく$\sqrt{2}$として考えるので、それも計算に含める必要があります。

この定理を使うと簡単に解ける問題があるので最後にそれを紹介しようと思います。

例題

$\sin20°\sin40°\sin60°\sin80°$の値を求めよ

解答

正九角形で先ほどの定理を使います。

赤い線分の長さは余弦定理で求めることができ、短い順に
$$ 2\sin20°,2\sin40°,2\sin60°,2\sin80°$$
となります。定理より、線分の長さの$2$乗の積＝$9$です。式で書くと
$$ (2\sin20°)^2(2\sin40°)^2(2\sin60°)^2(2\sin80°)^2 = 9$$
両辺ルートをとると
$$ 16\sin20°\sin40°\sin60°\sin80° = 3$$
よって
$$ \sin20°\sin40°\sin60°\sin80° = \frac{3}{16}$$

値を比較的簡単に求めることが出来ました☆

他にも定理をつかうことで
$$\sin^2 20^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 60^\circ+\sin^2 80^\circ = \frac{9}{4}$$
や
$$\sin5^\circ\sin10^\circ\sin15^\circ\cdots\sin90^\circ = \displaystyle\frac{3}{2^{\displaystyle\frac{33}{2}}}$$
などの結果も得ることもできます('_')