帰納極限の定義とオマケ

$R$を可換環とし，以下全て$R$加群上で考える．

帰納極限の定義を簡単に載せておく．

$I$を有向写像，$ \mathcal{I}= \{ M_i \ (i\in I) \ , \ f_{ji}:M_i \rightarrow M_j \ \ (i \leq j)\}$を帰納系とする．
$\coprod_{i\in I}M_i$(集合としての直和)に同値類$\sim$を次のように定める：
$$x_i\in M_i,x_j\in M_j,x_i \sim x_j \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} \exists k\in I,i,j\leq k,f_{ki}(x_i)=f_{kj}(x_j)$$
そしてこの同値関係による商集合を
$$ \ilim{i\in I}M_i:= \left. \left( \coprod_{i\in I}M_i \right) \middle/ {\sim} \right.$$
と定め，これを$\mathcal{I}$の帰納極限と呼ぶ．その同値類を$[x], (x\in \coprod_{i\in I}M_i)$と書き，$[x_i]+[x_j]:=[f_{ki}(x_i)+f_{kj}(x_j)] \ , (x_i\in M_i,x_j\in M_j,i,j\leq {}^{\exists } k ) $，$a[x]=[ax] \ , (a\in R, x\in \coprod_{i\in I}M_i)$として演算を定める．これは代表元や$k$の取り方によらず定義でき，これによって$\displaystyle\ilim{i\in I}M_i　$は$R$加群になる．

各$i\in I$に対し，準同型を$\displaystyle\iota_i:M_i\rightarrow\ilim{i\in I}M_i;x_i \mapsto [x_i]$と定め，これを標準的包含と呼ぶ．
帰納極限の普遍性は次のように言える:
任意の$R$加群$N$と，任意の準同型写像の族$(\phi_i:M_i \rightarrow N)_{i\in I}$で任意の$i,j\in I, i\leq j$に対して，$\phi _j \circ f_{ji}=\phi _i$を満たすものに対して，準同型$\displaystyle \phi:\ilim{i\in I}M_i \rightarrow N$で，任意の$i\in I$に対し$\phi \circ \iota_i=\phi _i$を満たすものが一意的に存在する．

$ \mathcal{J}= \{ N_i \ (i\in I) \ , \ g_{ji}:N_i \rightarrow N_j \ \ (i \leq j)\}$を帰納系，$ \mathcal{I}$を上で定義したものに対して，
$R$加群の準同型写像の族$(\psi_i:M_i \rightarrow N_i)_{i\in I}$で任意の$i,j\in I, i\leq j$に対して，$\psi _j \circ f_{ji}=g_{ji}\circ\psi _i$を満たすものとする．$\iota_i$を$M_i$の標準的包含，$\bar{\iota_i }$を$N_i$の標準的包含とすると，$(\bar{\iota_j }\circ\psi_j)\circ f_{ji}=\bar{\iota_j }\circ g_{ji}\circ\psi _i=\bar{\iota_i }\circ\psi _i$を満たすので，帰納極限の普遍性から準同型$\displaystyle \psi:\ilim{i\in I}M_i \rightarrow\ilim{i\in I}N_i$で，任意の$i\in I$に対し$\psi \circ \iota_i=\bar{\iota_i }\circ\psi _i$を満たすものが一意的に存在する．$\displaystyle\ilim{i\in I}\psi_i= \psi$と書く．
すなわち$\displaystyle \ilim{i\in I}N_i$と$\bar{\iota_j }\circ\psi_j$に対して普遍性を使った．図式にすると分かりやすい:

※以下オマケです．
$I$を有向写像，$k=1,2,3$に対して，$ \mathcal{I}_k= \{ A_{k,i} \ (i\in I) \ , \ g_{k,ji}:A_{k,i} \rightarrow A_{k,j} \ \ (i \leq j)\}$，$ \mathcal{J}_k= \{ B_{k,i} \ (i\in I) \ , \ f_{k,ji}:B_{k,i} \rightarrow B_{k,j} \ \ (i \leq j)\}$を帰納系,$(\psi_{k,i}:A_{k,i} \rightarrow B_{k,i})_{i\in I}$は準同型写像の族で任意の$i,j\in I, i\leq j$に対して，$\psi _{k,j} \circ g_{k,ji}=f_{k,ji}\circ\psi _{k,i}$を満たすものとする．また，準同型写像の族$(h'_{k,i}:A_{k,i} \rightarrow A_{k+1,i})_{i\in I}$，$(h_{k,i}:B_{k,i} \rightarrow B_{k+1,i})_{i\in I}$ $(k=1,2)$を任意の$i,j\in I, i\leq j$に対して，$h'_{k,j} \circ g_{k,ji}=g_{k+1,ji}\circ h'_{k,i}$，$h'_{2,i}\circ h'_{1,i}=0$，$h _{k,j} \circ f_{k,ji}=f_{k+1,ji}\circ h_{k,i}$，$h_{2,i}\circ h_{1,i}=0$， $(k=1,2)$を満たすものとする．
任意に$i\in I$をとる．$Z'_i:=\{x\in \Im\psi_{2,i} \vert \ h_{2,i}(x)=0 \}\subset \ker{h_{2,i}}$，$B'_i:=h_{1,i}(\Im\psi_{1,i})$，$H_{1,i}:=Z'_i/B'_i$，$H_{2,i}:=\ker{h_{2,i}}/\Im \ h_{1,i}$とし，準同型$\phi_i:H_{1,i} \rightarrow H_{2,i};x+B'_i \mapsto x+\Im \ h_{1,i}$とおく．また，任意の$i,j\in I, i\leq j$に対して，$G_{ji}:H_{1,i} \rightarrow H_{1,j};x+B'_i \mapsto f_{2,ji}(x)+B'_j $，$F_{ji}:H_{2,i} \rightarrow H_{2,j};x+\Im \ h_{1,i} \mapsto f_{2,ji}(x)+\Im \ h_{1,j} $とする．$\phi_i,\ G_{ji}, \ F_{ji}$はwell-definedである．そして，$\{ H_{1,i} , \ G_{ji}\}$，$ \{ H_{2,i} , \ F_{ji}\}$は帰納系で,$\phi _{j} \circ G_{ji}=F_{ji}\circ\phi _{i}$を満たす．
なので，帰納極限間の準同型$\displaystyle \phi:\ilim{i\in I}H_{1,i} \rightarrow\ilim{i\in I}H_{2,i}$を考えることができる．