帰納極限の定義とオマケ

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$R$ を可換環とし，以下全て $R$ 加群上で考える．

帰納極限の定義を簡単に載せておく．

$I$ を有向写像， $I = {M_{i} (i \in I), f_{j i} : M_{i} \to M_{j} (i \leq j)}$ を帰納系とする．
$\underset{i \in I}{∐} M_{i}$ (集合としての直和)に同値類 $\sim$ を次のように定める：
$x_{i} \in M_{i}, x_{j} \in M_{j}, x_{i} \sim x_{j} \overset{def}{⟺} \exists k \in I, i, j \leq k, f_{k i} (x_{i}) = f_{k j} (x_{j})$
そしてこの同値関係による商集合を
$lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i} := (\underset{i \in I}{∐} M_{i}) / \sim$
と定め，これを $I$ の帰納極限と呼ぶ．その同値類を $[x], (x \in \underset{i \in I}{∐} M_{i})$ と書き， $[x_{i}] + [x_{j}] := [f_{k i} (x_{i}) + f_{k j} (x_{j})], (x_{i} \in M_{i}, x_{j} \in M_{j}, i, j \leq^{\exists} k)$ ， $a [x] = [a x], (a \in R, x \in \underset{i \in I}{∐} M_{i})$ として演算を定める．これは代表元や $k$ の取り方によらず定義でき，これによって $lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i}$ は $R$ 加群になる．

$[x] \in lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i}$ に対して，代表元として $0 \in M_{i}$ がとりえるなら， $[x]$ は $lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i}$ の単位元となり，またその時に限る．

各 $i \in I$ に対し，準同型を $ι_{i} : M_{i} \to lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i}; x_{i} \mapsto [x_{i}]$ と定め，これを標準的包含と呼ぶ．
帰納極限の普遍性は次のように言える:
任意の $R$ 加群 $N$ と，任意の準同型写像の族 $(ϕ_{i} : M_{i} \to N)_{i \in I}$ で任意の $i, j \in I, i \leq j$ に対して， $ϕ_{j} \circ f_{j i} = ϕ_{i}$ を満たすものに対して，準同型 $ϕ : lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i} \to N$ で，任意の $i \in I$ に対し $ϕ \circ ι_{i} = ϕ_{i}$ を満たすものが一意的に存在する．

帰納極限の普遍性の図式を開く

M_{i} ϕ_{j} ι_{i} f_{j i} M_{j} ϕ_{j} ι_{j} lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i} \exists! ϕ N

$J = {N_{i} (i \in I), g_{j i} : N_{i} \to N_{j} (i \leq j)}$ を帰納系， $I$ を上で定義したものに対して，
$R$ 加群の準同型写像の族 $(ψ_{i} : M_{i} \to N_{i})_{i \in I}$ で任意の $i, j \in I, i \leq j$ に対して， $ψ_{j} \circ f_{j i} = g_{j i} \circ ψ_{i}$ を満たすものとする． $ι_{i}$ を $M_{i}$ の標準的包含， $\bar{ι_{i}}$ を $N_{i}$ の標準的包含とすると， $(\bar{ι_{j}} \circ ψ_{j}) \circ f_{j i} = \bar{ι_{j}} \circ g_{j i} \circ ψ_{i} = \bar{ι_{i}} \circ ψ_{i}$ を満たすので，帰納極限の普遍性から準同型 $ψ : lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i} \to lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} N_{i}$ で，任意の $i \in I$ に対し $ψ \circ ι_{i} = \bar{ι_{i}} \circ ψ_{i}$ を満たすものが一意的に存在する． $lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} ψ_{i} = ψ$ と書く．
すなわち $lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} N_{i}$ と $\bar{ι_{j}} \circ ψ_{j}$ に対して普遍性を使った．図式にすると分かりやすい:

図式を開く

M_{i} \bar{ι_{j}} \circ ψ_{j} ι_{i} ψ_{i} f_{j i} M_{j} \bar{ι_{j}} \circ ψ_{j} ι_{j} ψ_{j} N_{i} \bar{ι_{i}} lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} M_{i} \exists! ψ N_{j} \bar{ι_{j}} lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} N_{i}

※以下オマケです．
$I$ を有向写像， $k = 1, 2, 3$ に対して， $I_{k} = {A_{k, i} (i \in I), g_{k, j i} : A_{k, i} \to A_{k, j} (i \leq j)}$ ， $J_{k} = {B_{k, i} (i \in I), f_{k, j i} : B_{k, i} \to B_{k, j} (i \leq j)}$ を帰納系, $(ψ_{k, i} : A_{k, i} \to B_{k, i})_{i \in I}$ は準同型写像の族で任意の $i, j \in I, i \leq j$ に対して， $ψ_{k, j} \circ g_{k, j i} = f_{k, j i} \circ ψ_{k, i}$ を満たすものとする．また，準同型写像の族 $(h_{k, i}^{'} : A_{k, i} \to A_{k + 1, i})_{i \in I}$ ， $(h_{k, i} : B_{k, i} \to B_{k + 1, i})_{i \in I}$ $(k = 1, 2)$ を任意の $i, j \in I, i \leq j$ に対して， $h_{k, j}^{'} \circ g_{k, j i} = g_{k + 1, j i} \circ h_{k, i}^{'}$ ， $h_{2, i}^{'} \circ h_{1, i}^{'} = 0$ ， $h_{k, j} \circ f_{k, j i} = f_{k + 1, j i} \circ h_{k, i}$ ， $h_{2, i} \circ h_{1, i} = 0$ ， $(k = 1, 2)$ を満たすものとする．
任意に $i \in I$ をとる． $Z_{i}^{'} := {x \in Im ψ_{2, i} | h_{2, i} (x) = 0} \subset \ker h_{2, i}$ ， $B_{i}^{'} := h_{1, i} (Im ψ_{1, i})$ ， $H_{1, i} := Z_{i}^{'} / B_{i}^{'}$ ， $H_{2, i} := \ker h_{2, i} / Im h_{1, i}$ とし，準同型 $ϕ_{i} : H_{1, i} \to H_{2, i}; x + B_{i}^{'} \mapsto x + Im h_{1, i}$ とおく．また，任意の $i, j \in I, i \leq j$ に対して， $G_{j i} : H_{1, i} \to H_{1, j}; x + B_{i}^{'} \mapsto f_{2, j i} (x) + B_{j}^{'}$ ， $F_{j i} : H_{2, i} \to H_{2, j}; x + Im h_{1, i} \mapsto f_{2, j i} (x) + Im h_{1, j}$ とする． $ϕ_{i}, G_{j i}, F_{j i}$ はwell-definedである．そして， ${H_{1, i}, G_{j i}}$ ， ${H_{2, i}, F_{j i}}$ は帰納系で, $ϕ_{j} \circ G_{j i} = F_{j i} \circ ϕ_{i}$ を満たす．
なので，帰納極限間の準同型 $ϕ : lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} H_{1, i} \to lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} H_{2, i}$ を考えることができる．

可換図式を開く

A_{1, i} ψ_{1, i} g_{1, j i} h_{1, i}^{'} B_{1, i} f_{1, j i} h_{1, i} A_{2, i} ψ_{2, i} g_{2, j i} h_{2, i}^{'} B_{2, i} f_{2, j i} h_{2, i} A_{1, j} ψ_{1, j} h_{1, j}^{'} B_{1, j} h_{1, j} A_{3, i} ψ_{3, i} g_{3, j i} B_{3, i} f_{3, j i} A_{2, j} ψ_{2, j} h_{2, j}^{'} B_{2, j} h_{2, j} A_{3, j} ψ_{3, j} B_{3, j}

記号は上記のものを使う．このとき， $ϕ$ は単射であり，更に次の条件を満たすとき， $ϕ$ は全射になる．
条件:
任意の $x \in B_{2, i}$ に対し，ある $j \in I$ ， $i \leq j$ と $y \in A_{2, j}$ が存在して， $f_{2, j i} (x) = ψ_{2, j} (y)$ が成立する．

まず， $ϕ$ が単射であることを示す．
$x \in lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} H_{1, i}$ は $ϕ (x) = 0$ を満たすとする． $x$ の代表元を $x_{i} + B_{i}^{'}$ とすると， $[ϕ_{i} (x_{i} + B_{i}^{'})] = 0$ なので，ある $j \in I$ ， $i \leq j$ が存在して， $F_{j i} (ϕ_{i} (x_{i} + B_{i}^{'})) = Im h_{1, j}$ .そして $Im h_{1, j} = F_{j i} (ϕ_{i} (x_{i} + B_{i}^{'})) = ϕ_{j} (G_{j i} (x_{i} + B_{i}^{'})) = ϕ_{j} (f_{2, j i} (x_{i}) + B_{j}^{'})$
なので， $ϕ_{j}$ の単射性より， $f_{2, j i} (x_{i}) + B_{j}^{'} = B_{j}^{'}$ ．すなわち $f_{2, j i} (x_{i}) + B_{j}^{'} \sim x_{i} + B_{i}^{'}$ であるから， $x = 0$ ．故に $ϕ$ は単射である．
次に条件を満たすとき， $ϕ$ は全射になることを示す．
任意に $x \in lim_{\begin{matrix} ⟶ \\ i \in I \end{matrix}} H_{2, i}$ をとる． $x$ の代表元を $x_{i} + Im h_{1, j}$ とする．その $x_{i}$ に対して，条件より，ある $j \in I$ ， $i \leq j$ と $y_{j} \in A_{2, j}$ が存在して， $f_{2, j i} (x_{i}) = ψ_{2, j} (y_{j})$ が成立.このとき， $h_{2, j} (ψ_{2, j} (y_{j})) = h_{2, j} (f_{2, j i} (x_{i})) = f_{3, j i} (h_{2, i} (x_{i})) = f_{3, j i} (0) = 0$
なので， $ψ_{2, j} (y_{j}) \in \ker h_{2, j}$ ．また， $ψ_{2, j} (y_{j}) \in Im ψ_{2, j}$ なので， $ψ_{2, j} (y_{j}) \in Z_{j}^{'}$ である．
今， $ψ_{2, j} (y_{j}) + B_{j}^{'} \in H_{1, j}$ に対して， $ϕ_{j} (ψ_{2, j} (y_{j}) + B_{j}^{'}) = ψ_{2, j} (y_{j}) + Im h_{1, j} = f_{2, j i} (x_{i}) + Im h_{1, j} \sim x_{i} + Im h_{1, i}$ .
よって $ϕ ([ψ_{2, j} (y_{j}) + B_{j}^{'}]) = [x_{i} + Im h_{1, i}]$ なので， $ϕ$ の全射性が示された．

投稿日：2024年7月10日

更新日：2024年8月1日

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「ツクツクボーシ、ツクツクボーシ」ほら、カエルが鳴いてるよ春の訪れを感じながら落ち葉で黄色くなった道を歩いてく

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