補間多重ゼータ値のOhno-Zagier型母関数の表示
Ohno-Zagierの関係式
は微分方程式を用いて示すことができる. 今回はそれを補間多重ゼータ値に拡張したLi-Qinによる結果を示す. 補間多重ゼータ値とそのポリログへの拡張を以下のように定義する.
\begin{align}
\zeta^t(k_1,\dots,k_r)&:=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{t^{r-{\#\{n_1,\dots,n_r\}}}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\\
\Li_{k_1,\dots,k_r}(t,z)&:=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{t^{r-{\#\{n_1,\dots,n_r\}}}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}z^{n_r}
\end{align}
とする. ここで, $\# A$は集合$A$の濃度を表す. $I(k,n,s)$を重さ$k$, 深さ$n$, 高さ$s$のインデックス全体の集合として,
\begin{align}
X(k,n,s;z)&=\sum_{\bk\in I(k,n,s)}\Li_{\bk}(t,z)\\
X_0(k,n,s;z)&=\sum_{\bk\in I_0(k,n,s)}\Li_{\bk}(t,z)
\end{align}
とする.
\begin{align}
\frac{d}{dz}\Li_{k_1,\dots,k_n}(t,z)&=\begin{cases}
\frac 1z\Li_{k_1,\dots,k_{n-1},k_n-1}\qquad k_n\geq 2\\
\left(\frac tz+\frac 1{1-z}\right)\Li_{k_1,\dots,k_{n-1}}(t,z)\qquad k_n=1, n\geq 2\\
\frac 1{1-z}\qquad n=k_n=1
\end{cases}
\end{align}
と書けるので,
\begin{align}
&\frac{d}{dz}X_0(k,n,s;z)\\
&=\frac d{dz}\sum_{\bk\in I_0(k,n,s)}\Li_{k_1,\dots,k_{n-1},k_n-1}(t,z)\\
&=\frac 1z\left(\sum_{\substack{\bk\in I_0(k,n,s)\\k_n\geq 3}}\Li_{k_1,\dots,k_{n-1},k_n-1}(t,z)+\sum_{\substack{\bk\in I_0(k,n,s)\\k_n=2}}\Li_{k_1,\dots,k_{n-1},k_n-1}(t,z)\right)\\
&=\frac 1z\left(X_0(k-1,n,s;z)+X(k-1,n,s-1)-X_0(k-1,n,s-1)\right)
\end{align}
と
\begin{align}
&\frac{d}{dz}(X(k,n,s;z)-X_0(k,n,s;z))\\
&=\frac{d}{dz}\sum_{\bk\in I(k-1,n-1,s)}\Li_{k_1,\dots,k_n,1}(t,z)\\
&=\left(\frac tz+\frac 1{1-z}\right)\sum_{\bk\in I(k-1,n-1,s)}\Li_{k_1,\dots,k_n}(t,z)\\
&=\left(\frac tz+\frac 1{1-z}\right)X(k-1,n-1,s;z)
\end{align}
が成り立つ. まとめると,
\begin{align}
\frac{d}{dz}X_0(k,n,s;z)&=\frac 1z\left(X_0(k-1,n,s;z)+X(k-1,n,s-1)-X_0(k-1,n,s-1)\right)\\
\frac{d}{dz}(X(k,n,s;z)-X_0(k,n,s;z))&=\left(\frac tz+\frac 1{1-z}\right)X(k-1,n-1,s;z)\qquad n\geq 2
\end{align}
ここで, empty sumは$0$として, $X(0,0,0):=1$と定める(空インデックスがある).
ここで,
\begin{align}
\Phi(z)&:=\sum_{0\leq k,n,s}X(k,n,s;z)u^{k-n-s}v^{r-s}w^s\\
\Phi_0(z)&:=\sum_{1\leq k,n,s}X_0(k,n,s)u^{k-n-s}v^{n-s}w^{s-1}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
&\frac{d}{dz}\Phi_0(z)\\
&=\frac 1z\sum_{0< k,n,s}\left(X_0(k-1,n,s;z)+X(k-1,n,s-1)-X_0(k-1,n,s-1)\right)u^{k-n-s}v^{n-s}w^{s-1}\\
&=\frac 1z\left(u\Phi_0(z)+\frac{\Phi(z)-1-w\Phi_0(z)}{v}\right)
\end{align}
と
\begin{align}
&\frac{d}{dz}(\Phi(z)-w\Phi_0(z))\\
&=\left(\frac tz+\frac 1{1-z}\right)\sum_{0\leq k,s,2\leq n}X(k-1,n-1,s;z)u^{k-n-s}v^{n-s}w^s\\
&\qquad+\frac{d}{dz}\sum_{0\leq k,s,0\leq n\leq 1}(X(k,n,s;z)-X_0(k,n,s;z))u^{k-n-s}v^{n-s}w^s\\
&=\left(\frac tz+\frac 1{1-z}\right)v\sum_{0\leq k,s,1\leq n}X(k,n,s;z)u^{k-n-s}v^{n-s}w^s+\frac v{1-z}\\
&=\left(\frac tz+\frac 1{1-z}\right)v(\Phi(z)-1)+\frac v{1-z}
\end{align}
が成り立つ. まとめると,
\begin{align}
\frac{d}{dz}\Phi_0(z)&=\frac 1z\left(u\Phi_0(z)+\frac{\Phi(z)-1-w\Phi_0(z)}{v}\right)\\
\frac{d}{dz}(\Phi(z)-w\Phi_0(z))&=\left(\frac tz+\frac 1{1-z}\right)v(\Phi(z)-1)+\frac v{1-z}
\end{align}
2つ目の式は
\begin{align}
z(1-z)\frac{d}{dz}(\Phi(z)-1-w\Phi_0(z))-(t+(1-t)z)v(\Phi(z)-1)=vz
\end{align}
と書き換えられる. これに, 1つ目の式より得られる
\begin{align}
\Phi(z)-1&=\left(vz\frac{d}{dz}+w-uv\right)\Phi_0(z)
\end{align}
を代入すると,
\begin{align}
z(1-z)\frac{d}{dz}\left(vz\frac{d}{dz}-uv\right)\Phi_0(z)-(t+(1-t)z)v\left(vz\frac{d}{dz}+w-uv\right)\Phi_0(z)=vz
\end{align}
両辺を$v$で割ると
\begin{align}
\left(z(1-z)\frac{d}{dz}\left(z\frac{d}{dz}-u\right)-(t+(1-t)z)\left(vz\frac{d}{dz}+w-uv\right)\right)\Phi_0(z)=z
\end{align}
となる. これを整理して,
\begin{align}
\left(z^2(1-z)\left(\frac{d}{dz}\right)^2+z((1-u-vt)(1-z)-vz)\frac d{dz}+(t+(1-t)z)(uv-w)\right)\Phi_0(z)=z
\end{align}
を得る.
$\Phi_0(z)$は微分方程式
\begin{align}
\left(z^2(1-z)\left(\frac{d}{dz}\right)^2+z((1-u-vt)(1-z)-vz)\frac d{dz}+(t+(1-t)z)(uv-w)\right)f=z
\end{align}
の$z=0$で消えている形式的べき級数解である.
この左辺の微分作用素は, $\theta:=z\frac{d}{dz}$を用いて,
\begin{align}
&z^2(1-z)\left(\frac{d}{dz}\right)^2+z((1-u-vt)(1-z)-vz)\frac d{dz}+(t+(1-t)z)(uv-w)\\
&=(1-z)\theta^2-(u+vt-(u+v(t-1))z)\theta+(t+(1-t)z)(uv-w)\\
&=(\theta^2-(u+vt)\theta+t(uv-w))-z(\theta^2-(u+v(t-1))\theta+(t-1)z(uv-w))
\end{align}
と書けるので, 定理1の方程式の正則な解を
\begin{align}
f(z):=\sum_{1\leq n}a_nz^n
\end{align}
としたとき,
\begin{align}
&(1-(u+vt)+t(uv-w))a_1z\\
&\qquad+\sum_{2\leq n}(n^2-(u+vt)n+t(uv-w))a_nz^n\\
&\qquad-\sum_{2\leq n}((n-1)^2-(u+(t-1)v)(n-1)+(t-1)(uv-w))a_{n-1}z^n=z
\end{align}
より,
\begin{align}
a_1&=\frac 1{1-(u+vt)+t(uv-w)}\\
a_n&=\frac{(n-1)^2-(u+(t-1)v)(n-1)+(t-1)(uv-w)}{n^2-(u+vt)n+t(uv-w)}a_{n-1}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
a_n&=\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(k^2-(u+(t-1)v)k+(t-1)(uv-w))}{\prod_{k=1}^n(k^2-(u+vt)k+t(uv-w))}
\end{align}
を得る. つまり, 以下が示された.
以下の等式が成り立つ.
\begin{align}
\Phi_0(z)&=\sum_{1\leq n}\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(k^2-(u+(t-1)v)k+(t-1)(uv-w))}{\prod_{k=1}^n(k^2-(u+vt)k+t(uv-w))}z^n
\end{align}
特に, $t=1$とすると以下の系を得る.
\begin{align}
\sum_{1\leq k,n,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,n,s)}\Li_{\bk}^{\star}(z)\right)u^{k-n-s}v^{n-s}w^{s-1}&=\sum_{1\leq n}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{k=1}^n((k-u)(k-v)-w)}z^n
\end{align}
が成り立つ. ここで, $\Li_{\bk}^{\star}(z):=\Li_{\bk}(1,z)$である.
これはAoki-Kombu-Ohnoによって2008年に示された結果である.
