ROT13の暗号化と復号が同一であることの証明
本稿では，シーザー暗号の一つであるROT13の暗号化と復号が同一の操作であることを証明する．
ROT13の定義
ROT13とは，アルファベットをそれより13文字後のアルファベットに置き換える暗号である．
"I love math."をROT13で暗号化すると"V ybir zngu."になる．
このような暗号を数学的に扱うには，割り算の余りの問題に置き換えるのが良いだろう．各アルファベットに対して，Aに0，Bに1，...，Zに25，と整数をあてはめることで，ROT13を次のように定義することができる．
整数$n$に対して，$n+13$を$26$で割ったときの余りを$\text{ROT}_{13}(n)$と定める．
- $\text{ROT}_{13}(1)=14$（AはNに置き換わる）
- $\text{ROT}_{13}(20)=7$（TはGに置き換わる）
ROT13の復号
ROT13によって暗号化されたものを復号するには，再びROT13を適用すればよい．
"V ybir zngu."をROT13で暗号化すると"I love math."になる．
この事実を数学的に証明してみよう．そのためには，ROT13の逆関数がROT13自身であることを示せばよい．
$n=0,1,\cdots,25$に対して$\text{ROT}_{13}(\text{ROT}_{13}(n))=n$が成り立つ．
ROT13の定義より，整数$n$に対し，ある整数$k$が存在して
$$
n+13=26k+\text{ROT}_{13}(n)
$$
すなわち
$$
\text{ROT}_{13}(n)=n-26k+13
$$
が成り立つ．よって
$$
\text{ROT}_{13}(\text{ROT}_{13}(n))=\text{ROT}_{13}(n-26k+13)\tag{1}\label{prf1}
$$
となる．ここで，
$$
(n-26k+13)+13=n-26k+26=26(1-k)+n
$$
であることに注意すると
$$
\text{ROT}_{13}(n-26k+13)=n\tag{2}\label{prf2}
$$
である．従って，\eqref{prf1}と\eqref{prf2}より$\text{ROT}_{13}(\text{ROT}_{13}(n))=n$が得られる．
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