本稿では,シーザー暗号の一つであるROT13の暗号化と復号が同一の操作であることを証明する.
ROT13とは,アルファベットをそれより13文字後のアルファベットに置き換える暗号である.
"I love math."をROT13で暗号化すると"V ybir zngu."になる.
このような暗号を数学的に扱うには,割り算の余りの問題に置き換えるのが良いだろう.各アルファベットに対して,Aに0,Bに1,...,Zに25,と整数をあてはめることで,ROT13を次のように定義することができる.
整数
ROT13によって暗号化されたものを復号するには,再びROT13を適用すればよい.
"V ybir zngu."をROT13で暗号化すると"I love math."になる.
この事実を数学的に証明してみよう.そのためには,ROT13の逆関数がROT13自身であることを示せばよい.
ROT13の定義より,整数
すなわち
が成り立つ.よって
となる.ここで,
であることに注意すると
である.従って,