高校数学解説

ROT13の暗号化と復号が同一であることの証明

整数

本稿では，シーザー暗号の一つであるROT13の暗号化と復号が同一の操作であることを証明する．

ROT13の定義

ROT13

ROT13とは，アルファベットをそれより13文字後のアルファベットに置き換える暗号である．

ROT13による暗号化

"I love math."をROT13で暗号化すると"V ybir zngu."になる．

このような暗号を数学的に扱うには，割り算の余りの問題に置き換えるのが良いだろう．各アルファベットに対して，Aに0，Bに1，...，Zに25，と整数をあてはめることで，ROT13を次のように定義することができる．

ROT13（割り算の余りによる定義）

整数 $n$ に対して， $n + 13$ を $26$ で割ったときの余りを ${ROT}_{13} (n)$ と定める．

ROT13による暗号化（割り算の余りによる定義）

${ROT}_{13} (1) = 14$ （AはNに置き換わる）
${ROT}_{13} (20) = 7$ （TはGに置き換わる）

ROT13の復号

ROT13によって暗号化されたものを復号するには，再びROT13を適用すればよい．

ROT13の復号

"V ybir zngu."をROT13で暗号化すると"I love math."になる．

この事実を数学的に証明してみよう．そのためには，ROT13の逆関数がROT13自身であることを示せばよい．

ROT13の逆関数はROT13

$n = 0, 1, \dots, 25$ に対して ${ROT}_{13} ({ROT}_{13} (n)) = n$ が成り立つ．

ROT13の定義より，整数 $n$ に対し，ある整数 $k$ が存在して
$n + 13 = 26 k + {ROT}_{13} (n)$
すなわち
${ROT}_{13} (n) = n - 26 k + 13$
が成り立つ．よって
$\begin{matrix} (1) & {ROT}_{13} ({ROT}_{13} (n)) = {ROT}_{13} (n - 26 k + 13) \end{matrix}$
となる．ここで，
$(n - 26 k + 13) + 13 = n - 26 k + 26 = 26 (1 - k) + n$
であることに注意すると
$\begin{matrix} (2) & {ROT}_{13} (n - 26 k + 13) = n \end{matrix}$
である．従って， $(1)$ と $(2)$ より ${ROT}_{13} ({ROT}_{13} (n)) = n$ が得られる．

投稿日：4月16日

更新日：4月16日

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