補助線の前に面積比を見る：三角形の自作問題を2通りで解く

次の問題は説明用の自作問題です。学校の過去問は使っていません。
この記事は、中学受験hubを運営する株式会社Fermionが、MathlogのTeX64 Primeアカウントから公開する解説です。TeX64 Primeは別会社や独立したレビュー媒体ではありません。

三角形ABCがある。Dは辺AB上、Eは辺AC上にあり、$AD:DB=2:3$、$AE:EC=1:2$である。三角形ADEと四角形DBCEの面積比を求めよ。
図を描くとDEを延ばしたくなりますが、必要な数字はすでに二辺上にあります。答えは $2:13$ です。
辺の比から三角形ADEと残りの面積比2対13を求める自作図
学校問題とは別にFermionが作成した図。AD:DB=2:3、AE:EC=1:2から部分と残りの面積比が2:13になる計算を示す。SVG原本から2026年9月1日にPNGへ機械変換。

解法1：同じ高さを二度使う

まず $AD:DB=2:3$ なので、$AD:AB=2:5$ です。三角形ADEと三角形ABEは、Eから直線ABへ下ろす高さが共通です。したがって
$$ S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABE}=AD:AB=2:5. $$
次に三角形ABEと三角形ABCを比べます。底辺をABとみれば、EとCからABへの高さの比は $AE:AC=1:3$ です。よって
$$ S_{\triangle ABE}:S_{\triangle ABC}=AE:AC=1:3. $$
二つを掛けると
$$ \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} =\frac25\cdot\frac13 =\frac2{15}. $$
残りの四角形DBCEは全体の $13/15$ です。したがって求める比は
$$ \frac2{15}:\frac{13}{15}=2:13. $$

解法2：座標を置いて面積を直接出す

比が保たれるように
$$ A=(0,0),\quad B=(5,0),\quad C=(0,3), $$
$$ D=(2,0),\quad E=(0,1) $$
と置きます。三角形ABCは底辺5、高さ3なので面積は $15/2$。三角形ADEは底辺2、高さ1なので面積は1です。四角形DBCEの面積は
$$ \frac{15}{2}-1=\frac{13}{2}. $$
したがって
$$ 1:\frac{13}{2}=2:13. $$
最初の方法と一致しました。

DEとBCは平行ではない

この問題で相似を使おうとすると注意が要ります。平行なら $AD/AB=AE/AC$ になるはずですが、左は $2/5$、右は $1/3$ です。等しくありません。座標でもDEの傾きは $-1/2$、BCの傾きは $-3/5$ なので一致しません。
「三角形の二辺上に点がある」という見た目だけでは、平行も相似も決まりません。相似を使う前に対応角か対応辺の条件を一行置く。この確認で、余計な補助線から戻れます。

過去問の復習に戻すとき

洛星中前期算数教材の無料版と5年版を示す実画面
中学受験hubの公開商品画面。2026年8月31日取得。2026年度前期無料版と2022〜2026年度前期版の教材範囲を示す。この記事の自作問題を解いた画面ではありません。
実際の学校問題では図の条件が複雑になります。それでも、同じ高さ、同じ底辺、部分と全体、相似条件の順で点検できます。 中学受験hubの洛星中学校ページ には2026年度前期の6大問・26解答欄を扱う無料版があり、式や図を見ながら止まった場所を照合できます。学校公式の入試情報は 洛星中学校の入試案内 で確認してください。
自作問題の役割は一つの型をきれいに理解することです。過去問に戻ったら、同じ高さが本当にあるか、辺の割合の分母が全体になっているか、相似の条件がそろっているかを毎回確かめます。
数式、図、教材情報の誤りは 中学受験hubの訂正窓口 で受け付けます。連絡時に記事名と該当箇所を添えてください。