コサインによるL^2[0,1]及びL^2(R)の基底

$n,n' \in \Nn_0,~n \neq n'$とおくと

$$ \langle e_n,e_{n'} \rangle_{L^2[0,1]} = \int_{0}^{1}(\cos(n + n')\pi t + \cos(n - n')\pi t)dt = 0. $$

また$n \in \Nn$のとき

$$ \|e_n\|^2_{L^2[0,1]} = \int_{0}^{1}(1 + \cos 2n\pi t)dt = 1 $$

であるから, $\{1\}\cup\{e_n\}_{n \in \Nn}$は$L^2[0,1]$の正規直交系である.
基底であることについて, 完全性を示す. $f \in L^2[0,1]$は任意の$e_n$に直交しているとする. すなわち

$$ \int_{0}^{1}f(t)\cos n\pi tdt = 0~~(n \in \Nn_0)~~~~~~\cdots(1) $$

とする. $g \in L^2[0,2]$を

$$ g(t) = \begin{cases} f(t) & (t \in [0,1])\\ f(2 - t) & (t \in (1,2]) \end{cases} $$

で定義する. $\{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\pi ikt}\}_{k \in \Zz}$は$L^2[0,2]$の正規直交基底であるが, $k \in \Zz$に対して
\begin{align*} \int_{0}^{2}g(t)e^{-\pi ikt}dt &= \int_{0}^{2}g(t)\cos k\pi tdt - i\int_{0}^{2}g(t)\sin k\pi tdt,\\\\ \int_{0}^{2}g(t)\cos k\pi tdt &= \int_{0}^{1}f(t)\cos k\pi tdt + \int_{1}^{2}f(2 - t)\cos k\pi tdt \\ &= \int_{0}^{1}f(t)\cos k\pi tdt + \int_{0}^{1}f(t)\cos k\pi(2 - t)dt\\ &= 2\int_{0}^{1}f(t)\cos k\pi tdt\\ &= 0,~~(\because (1))\\\\ \int_{0}^{2}g(t)\sin k\pi tdt &= \int_{0}^{1}f(t)\sin k\pi tdt + \int_{1}^{2}f(2 - t)\sin k\pi tdt\\ &= \int_{0}^{1}f(t)\sin k\pi tdt + \int_{0}^{1}f(t)\sin k\pi(2 - t)dt\\ &= 0 \end{align*}
となる. よって$g = 0$であり, $[0,1]$に注目すれば$f = 0$となっている.

$n,n' \in \Nn_0,~n \neq n'$とおくと

$$ \langle f_n,f_{n'} \rangle_{L^2[0,1]} = \int_{0}^{1}(\cos(n + n' + 1)\pi t + \cos(n - n')\pi t)dt = 0. $$

また$n \in \Nn_0$のとき

$$ \|f_n\|^2_{L^2[0,1]} = \int_{0}^{1}(1 + \cos(2n + 1)\pi t)dt = 1 $$

であるから, $\{f_n\}_{n \in \Nn_0}$は$L^2[0,1]$の正規直交系である.

完全性を示す. $f \in L^2[0,1]$は任意の$f_n$に直交しているとする. すなわち

$$ \int_{0}^{1}f(t)\cos\frac{2n + 1}{2}\pi tdt = 0~~(n \in \Nn_0)~~~~~~\cdots(2) $$

とする. $g \in L^2[0,2]$を

$$ g(t) = \begin{cases} f(t) & (t \in [0,1])\\ -f(2 - t) & (t \in (1,2]) \end{cases} $$

で定義する．(定理1の関数を適切にスケーリングして)$\{\frac{1}{\sqrt{2}}\}\cup\{\cos\frac{k\pi t}{2}\}_{n \in \Nn}$は$L^2[0,2]$の正規直交基底であるが, $k \in \Nn_0$に対して

\begin{align*} \langle g,e_k \rangle_{L^2[0,2]} &= \int_{0}^{1}f(t)\cos\frac{k\pi t}{2}dt - \int_{1}^{2}f(2 - t)\cos\frac{k\pi t}{2}dt\\ &= \int_{0}^{1}f(t)\cos\frac{k\pi t}{2}dt - \int_{0}^{1}f(t)\cos\frac{k\pi (2 - t)}{2}dt\\ &= (1 - (-1)^k)\int_{0}^{1}f(t)\cos\frac{k\pi t}{2}dt \end{align*}

となる. $(2)$から, これは$k$の偶奇にかかわらず$0$となり, よって$g = 0$である. $[0,1]$に注目すれば$f = 0$となっている.

$k,k' \in \Zz,~k' \ge k,~n,n' \in \Nn_0$とする. $k' - k \ge 2$のとき, $b_k$と$b_{k'}$の台は共通部分を持たないので$\langle \psi_{k,n},\psi_{k',n'} \rangle_{L^2(\Rr)} = 0$である. $k' = k + 1$のとき

\begin{align*} \langle \psi_{k,n},\psi_{k',n'} \rangle_{L^2(\Rr)} &= \int_{c_k}^{c_{k + 1}}b_k(t)b_{k + 1}(t)\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k + 1,n'}(t)dt\\ &= \int_{c_k}^{a_{k + 1}} \cdots dt + \int_{a_{k + 1}}^{c_{k + 1}} \cdots dt. \end{align*}

第2項について, $t \to 2a_{k + 1} - t$のように置換すると, 前節の(i)及び(iii)より

$$ \int_{a_{k + 1}}^{c_{k + 1}} \cdots dt = \int_{c_k}^{a_{k + 1}} b_{k + 1}(t)b_k(t)(-\varphi_{k,n}(t))\varphi_{k + 1,n'}(t)dt = -(\text{第1項}) $$

となる. $k' = k$のとき

\begin{align*} \langle \psi_{k,n},\psi_{k,n'} \rangle_{L^2(\Rr)} &= \int_{c_{k - 1}}^{c_{k + 1}}b_k(t)^2\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k,n'}(t)dt\\ &= \int_{c_{k - 1}}^{a_k} \cdots dt + \int_{a_k}^{c_k} \cdots dt + \int_{c_k}^{a_{k + 1}} \cdots dt + \int_{a_{k + 1}}^{c_{k + 1}} \cdots dt.~~~~~~\cdots(3) \end{align*}

第1項で$t \to 2a_k - t$のように置換して第2項と足し合わせると, (ii),(iii),(iv)より

\begin{align*} (\text{第1項}) + (\text{第2項}) &= \int_{a_k}^{c_k}b_{k - 1}(t)^2\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k,n'}(t)dt + \int_{a_k}^{c_k}b_k(t)^2\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k,n'}(t)dt\\ &= \int_{a_k}^{c_k}\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k,n'}(t)dt. \end{align*}

同様に, 第4項で$t \to 2a_{k + 1} - t$のように置換して第3項と足し合わせると, (i),(iii),(iv)より

\begin{align*} (\text{第3項}) + (\text{第4項}) &= \int_{c_k}^{a_{k + 1}}b_k(t)^2\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k,n'}(t)dt + \int_{c_k}^{a_{k + 1}}b_{k + 1}(t)^2\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k,n'}(t)dt\\ &= \int_{c_k}^{a_{k + 1}}\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k,n'}(t)dt. \end{align*}

よって

$$ \langle \psi_{k,n},\psi_{k',n'} \rangle_{L^2(\Rr)} = \int_{a_k}^{a_{k + 1}}\varphi_{k,n}(t)\varphi_{k,n'}(t)dt = \langle f_n,f_{n'} \rangle_{L^2[0,1]} = \delta_{n,n'}. $$

以上から$\{\psi_{k,n}\}$は$L^2(\Rr)$の正規直交系である.

基底であることについて, Parsevalの等式を示す. $\langle f,\psi_{k,n} \rangle_{L^2(\Rr)}$の積分区間$[c_{k - 1},c_{k + 1}]$を$(3)$のように分け, 第1項 / 第4項で$t \to 2a_k - t~/~2a_{k + 1} - t$のように置換すると

\begin{align*} \langle f,\psi_{k,n} \rangle_{L^2(\Rr)} &= \int_{a_k}^{c_k}(b_k(t)f(t) + b_{k - 1}(t)f(2a_k - t))\varphi_{k,n}(t)dt\\ &{}~~~~~~ + \int_{c_k}^{a_{k + 1}}(b_k(t)f(t) - b_{k + 1}(t)f(2a_{k + 1} - t))\varphi_{k,n}(t)dt. \end{align*}

そこで$T_k:L^2(\Rr) \to L^2(I_k)$を

$$ T_kf(t) = \begin{cases} b_k(t)f(t) + b_{k - 1}(t)f(2a_k - t) & (t \in [a_k,c_k])\\ b_k(t)f(t) - b_{k + 1}(t)f(2a_{k + 1} - t) & (t \in (c_k,a_{k + 1}]) \end{cases} $$

で定義すると

$$ \langle f,\psi_{k,n} \rangle_{L^2(\Rr)} = \int_{a_k}^{a_{k + 1}}T_kf(t)\varphi_{k,n}(t)dt = \langle T_kf,\varphi_{k,n} \rangle_{L^2(I_k)}~~~~~~\cdots(4) $$

となる. 各$k \in \Zz$に対して$\{\varphi_{k,n}\}_{n \in \Nn_0}$は$L^2(I_k)$の正規直交基底であるから

$$ \sum_{n \in \Nn_0}|\langle T_kf,\varphi_{k,n} \rangle_{L^2(I_k)}|^2 = \|T_kf\|_{L^2(I_k)}^2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots(5) $$

$\|T_kf\|_{L^2(I_k)}^2$について

\begin{align*} \|T_kf\|_{L^2(I_k)}^2 &= \int_{a_k}^{c_k}\left(b_k^2(t)|f(t)|^2 + b_{k - 1}(t)^2|f(2a_k - t)|^2 + 2\Re\left(b_k(t)b_{k - 1}(t)f(t)\overline{f(2a_k - t)}\right)\right)dt\\ &{}~~~~~~ + \int_{c_k}^{a_{k + 1}}\left(b_k^2(t)|f(t)|^2 + b_{k + 1}(t)^2|f(2a_{k + 1} - t)|^2 - 2\Re\left(b_k(t)b_{k + 1}(t)f(t)\overline{f(2a_{k + 1} - t)}\right)\right)dt.\\ &= \int_{c_{k - 1}}^{a_k}\left(b_{k - 1}^2(t)|f(2a_k - t)|^2 + b_k(t)^2|f(t)|^2 + 2\Re\left(b_{k - 1}(t)b_k(t)f(2a_k - t)\overline{f(t)}\right)\right)dt~~(t \to 2a_k - t)~~~~~~\cdots(6)\\ &{}~~~~~~ + \int_{c_k}^{a_{k + 1}}\left(b_k^2(t)|f(t)|^2 + b_{k + 1}(t)^2|f(2a_{k + 1} - t)|^2 - 2\Re\left(b_k(t)b_{k + 1}(t)f(t)\overline{f(2a_{k + 1} - t)}\right)\right)dt.~~~~~~~~~~~~~~\cdots(7) \end{align*}

$(6)$の積分を項別に分け, 第1,2,3項を$I^1_k,I^2_k,I^3_k$とおく. $(7)$も同様に$J^1_k,J^2_k,J^3_k$とおくと, (iv)より

\begin{align*} I^1_{k + 1} + J^2_k &= \int_{c_k}^{a_{k + 1}}|f(2a_{k + 1} - t)|^2dt = \int_{a_{k + 1}}^{c_{k + 1}}|f(t)|^2dt,\\ I^2_{k + 1} + J^1_k &= \int_{c_k}^{a_{k + 1}}|f(t)|^2dt,\\ I^3_{k + 1} + J^3_k &= 0. \end{align*}

$k \in \Zz$で総和すると

\begin{align*} \sum_{k \in \Zz}\|T_kf\|_{L^2(I_k)}^2 &= \sum_{k \in \Zz}(I^1_{k + 1} + I^2_{k + 1} + I^3_{k + 1}) + \sum_{k \in \Zz}(J^1_k + J^2_k + J^3_k)\\ &= \sum_{k \in \Zz}\left((I^1_{k + 1} + J^2_k) + (I^2_{k + 1} + J^1_k) + (I^3_{k + 1} + J^3_k)\right)\\ &= \sum_{k \in \Zz}\int_{c_k}^{c_{k + 1}}|f(t)|^2dt\\ &= \|f\|_{L^2(\Rr)}^2. \end{align*}

これと$(4),(5)$から

$$ \sum_{k \in \Zz,n \in \Nn_0}|\langle f,\psi_{k,n}\rangle_{L^2(\Rr)}|^2 = \|f\|_{L^2(\Rr)}^2. $$