三角比の不等式とその証明

はじめに

今回示す式は既出の可能性がありますが，その証明は未出の自信があるので是非見てみてください．

定理

任意の鋭角三角形$ABC$について，以下の不等式が成り立つ．
$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\geq (\cos A+\cos B+\cos C)^2$$

証明

まずは以下の補題を示す．

補題

以下の等式が成り立つ．
$$\bigg(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C} \bigg)\bigg(\dfrac{BC^2}{\tan A}+\dfrac{CA^2}{\tan B}+\dfrac{AB^2}{\tan C} \bigg)=AB^2+BC^2+CA^2 $$

補題の証明

三角形$ABC$の面積を$S$とすると，有名事実として以下が成り立つ(参考文献参照)．
$$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4S}$$
よって，
$$\dfrac{BC^2}{\tan A}+\dfrac{CA^2}{\tan B}+\dfrac{AB^2}{\tan C}=4S$$
を示せばよい．正弦定理より三角形$ABC$の外接円の半径を$R$とすれば
$$\begin{aligned} \dfrac{BC^2}{\tan A}+\dfrac{CA^2}{\tan B}+\dfrac{AB^2}{\tan C}&=\dfrac{BC^2\cos A}{\sin A}+\dfrac{CA^2\cos B}{\sin B}+\dfrac{AB^2\cos C}{\sin C}\\\\&=2R(BC\cos A+CA\cos B+AB\cos C)\\\\&=2R\bigg(\frac{BC(AB^2+CA^2-BC^2)}{2AB\cdot CA}+\frac{CA(BC^2+AB^2-CA^2)}{2BC\cdot AB}+\frac{AB(CA^2+BC^2-AB^2)}{2CA\cdot BC}\bigg)\\\\&=\frac{R}{AB\cdot BC\cdot CA}(BC^2(AB^2+CA^2-BC^2)+CA^2(BC^2+AB^2-CA^2)+AB^2(CA^2+BC^2-AB^2))\\\\&=\frac{R}{2R\sin C\cdot BC\cdot CA}(2AB^2\cdot BC^2+2BC^2\cdot CA^2+2CA^2\cdot AB^2-AB^4-BC^4-CA^4) \\\\&=\frac{1}{4S}\cdot (4S)^2\\\\&=4S \end{aligned}$$
と変形でき，補題が示される．ただし，途中でヘロンの公式を展開したものを用いた．(補題の証明終わり)

定理の証明

補題より
$$\Bigg(\Bigg(\sqrt{\dfrac{1}{\tan A}}\Bigg)^2+\Bigg(\sqrt{\dfrac{1}{\tan B}}\Bigg)^2+\Bigg(\sqrt{\dfrac{1}{\tan C}}\Bigg)^2 \Bigg)\Bigg(\Bigg(\sqrt{\dfrac{BC^2}{\tan A}}\Bigg)^2+\Bigg(\sqrt{\dfrac{CA^2}{\tan B}}\Bigg)^2+\Bigg(\sqrt{\dfrac{AB^2}{\tan C}}\Bigg)^2 \Bigg)=AB^2+BC^2+CA^2 $$
である($\tan A>0,\tan B>0,\tan C>0$であることに注意する)．左辺にコーシー・シュワルツの不等式を適用して
$$\bigg(\dfrac{BC}{\tan A}+\dfrac{CA}{\tan B}+\dfrac{AB}{\tan C} \bigg)^2\leq AB^2+BC^2+CA^2$$
を得る．正弦定理より
$$\bigg(\dfrac{BC\cos A}{\sin A}+\dfrac{CA\cos B}{\sin B}+\dfrac{AB\cos C}{\sin C} \bigg)^2\leq AB^2+BC^2+CA^2$$
$$(2R\cos A+2R\cos B+2R\cos C)^2\leq AB^2+BC^2+CA^2$$
$$(\cos A+\cos B+\cos C)^2\leq\frac{AB^2}{4R^2}+\frac{BC^2}{4R^2}+\frac{CA^2}{4R^2}$$
と変形できるので，再び正弦定理より$\dfrac{AB}{2R}=\sin C,\dfrac{BC}{2R}=\sin A,\dfrac{CA}{2R}=\sin B$から
$$(\cos A+\cos B+\cos C)^2\leq\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C$$
となり，題意が示された．(証明終わり)