Riemannスキームの基本事項まとめ

[1]
\begin{eqnarray} p_{k}(z)\frac{d^{n-k}}{dz^{n-k}}y&=&p_{k}(z-a)^{k}(z-a)^{\rho-n}\sum_{m=0}^{\infty}(\rho+m)_{\downarrow,n-k}(z-a)^{m}\\ &=&q_{k}(z-a)^{\rho-n}\sum_{m=0}^{\infty}(\rho+m)_{\downarrow,n-k}(z-a)^{m} \end{eqnarray}
[2]よって$(z-a)^{\rho-n}$の係数を計算すると
\begin{eqnarray} [(z-a)^{\rho-k}]L[p_{1},p_{2},...,p_{n}]y&=&\{(\rho)_{\downarrow,n}+\sum_{k=1}^{n}q_{k}(a)(\rho)_{\downarrow,n-k}\}c_{0}\\ &=&0 \end{eqnarray}
を得る。
[3]
\begin{eqnarray} (\rho)_{\downarrow,n}&=&\rho(\rho-1)\cdots(\rho-n+1)\\ &=&\rho^{n}-\rho^{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}k+\cdots+(-1)^{n-1}(n-1)!\\ &=&\rho^{n}-\frac{n(n-1)}{2}\rho^{n-1}+\cdots+(-1)^{n-1}(n-1)! \end{eqnarray}
より以下の式を得る。
\begin{eqnarray} [\rho^{n-1}][(z-a)^{\rho-k}]L[p_{1},p_{2},...,p_{n}]y&=&-c_{0}\sum_{k=1}^{n}\rho_{k}\\ &=&\{q_{1}(a)-\frac{n(n-1)}{2}\}c_{0} \end{eqnarray}
ゆえに整理して$\sum_{k=1}^{n}\rho_{k}=\frac{n(n-1)}{2}-q_{1}(a)$
[3]$I(\rho)\coloneqq(\rho)_{n}+\sum_{k=1}^{n}q_{k}(a)(\rho)_{\downarrow,n-k}$とすると
\begin{equation} I(0)=(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}\rho_{k}=q_{n}(a) \end{equation}

\begin{eqnarray} (z-a)^{n}p_{k}(k)\frac{d^{n-k}}{dz^{n-k}}(z-a)^{\rho}&=&(z-a)^{k}p_{k}(z-a)^{n-k}\frac{d^{n-k}}{dz^{n-k}}(z-a)^{\rho}\\ &=&(\rho)_{\downarrow,n-k}q_{k}(z)(z-a)^{\rho} \end{eqnarray}
ゆえに以下の式を得る。
\begin{equation} L(p_{1},p_{2},...,p_{n})(z-a)^{\rho}=(z-a)^{\rho-n}\{(\rho)_{\downarrow,n}+\sum_{k=1}^{n}(\rho)_{\downarrow,n-k}q_{k}(z)\} \end{equation}

写像$l:GL_{2}\ni\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\mapsto\psi_{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in M$を定めるとこれは準同型写像となる。
\begin{eqnarray} l(\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix})(z)&=&l(\begin{pmatrix}A_{1}A_{2}+B_{1}C_{2}&A_{1}B_{2}+B_{1}D_{2}\\C_{1}A_{2}+D_{1}&C_{2}+D_{1}D_{2}\end{pmatrix})(z)\\ &=&\psi_{\begin{pmatrix}A_{1}A_{2}+B_{1}C_{2}&A_{1}B_{2}+B_{1}D_{2}\\C_{1}A_{2}+D_{1}&C_{2}+D_{1}D_{2}\end{pmatrix}}(z)\\ &=&\frac{(A_{1}A_{2}+B_{1}C_{2})z+A_{1}B_{2}+B_{1}D_{2}}{(C_{1}A_{2}+D_{1}C_{2})z+C_{1}B_{2}+D_{1}D_{2}}\\ &=&\frac{A_{1}(A_{2}z+B_{2})+B_{1}(C_{2}z+D_{2})}{C_{1}(A_{2}z+B_{2})+D_{1}(C_{2}+D_{2})}\\ &=&\frac{A_{1}\frac{A_{2}z+B_{2}}{C_{2}z+D_{2}}+B_{1}}{C_{1}\frac{A_{2}z+B_{2}}{C_{2}z+D_{2}}+D_{1}}\\ &=&\psi_{\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}\circ\psi_{\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}(z)\\ &=&l(\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix})l(\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix})(z) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} z&\mapsto& Cz\quad(定数倍)\\ &\mapsto& Cz+D\quad(平行移動)\\ &\mapsto&\frac{1}{Cz+D}\quad(逆数)\\ &\mapsto&\frac{x}{Cz+D}\quad(定数倍)\\ &\mapsto&\frac{x}{Cz+D}+\frac{A}{C}=\frac{Az+x+\frac{AD}{C}}{Cz+D}\quad(平行移動) \end{eqnarray}
より$x=B-\frac{AD}{C}$とすればよい。

[1]$j=0$の場合は$y(\varphi^{-1}(\zeta))=u(\zeta)$なので定義より明らかに成り立つ。
[2]そこで$0,1,2,...,j$まで成立すると仮定する。そして$j+1$の場合を考える。
\begin{eqnarray} \frac{d}{dz}y^{(j)}(z)|_{z=\varphi^{-1}(\zeta)}&=&\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\sum_{i=0}^{j}\{A_{ji}^{'}(\zeta)u^{(j)}(\zeta)+A_{ji}(\zeta)u^{(j+1)}(\zeta)\}\\ &=&\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))A_{j0}^{'}(\zeta)u(\zeta)+\sum_{i=1}^{j}\{A_{ji}^{'}(\zeta)+A_{j,i-1}(\zeta)\}u^{(j)}(\zeta)+\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))A_{j,j}(\zeta)u^{(j+1)}(\zeta)\\ &=&\sum_{i=0}^{j+1}A_{j+1,i}(\zeta)u^{(j)}(\zeta) \end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A_{j+1,0}(\zeta)=\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))A_{j0}^{'}(\zeta)\\ A_{j+1,i}(\zeta)=\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\{A_{ji}^{'}(\zeta)+A_{j,i-1}(\zeta)\}\\ A_{j+1,j+1}(\zeta)=\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))A_{j,j}(\zeta)=\{\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\}^{j+1} \end{array} \right. \end{eqnarray}

[1]$z=a$を確定特異点とし、その指数を$\rho$として$y(z)=(z-a)^{\rho}h(z)$の様に解が表せたとする。
[2]次に$u(\zeta)\coloneqq y(\varphi^{-1}(\zeta))$とおく。すると$u(\varphi(z))=y(z)$が解となる事が分かる。
[3]$\varphi(z)=\frac{Az+B}{Cz+D}$とおくと
\begin{equation} \varphi^{'}(z)=\frac{AD-BC}{(Cz+D)^{2}} \end{equation}
なので$z\neq-\frac{D}{C}$で$\varphi(z)$は正則である事が分かる。
また$z\neq\frac{A}{C}$で$\varphi^{-1}(z)$が正則である事が分かる。
[4]$z=\varphi^{-1}(\zeta),a=\varphi^{-1}(b)$とすると
\begin{eqnarray} z-a&=&\varphi^{-1}(\zeta)-\varphi^{-1}(b)\\ &=&\varphi^{-1}(b+\zeta-b)-\varphi^{-1}(b)\\ &=&\frac{\zeta-b}{\varphi^{'}(a)}+O((\zeta-b)^{2}) \end{eqnarray}
上記の計算をまとめると、$u(\zeta)$は正則な関数$\tilde{h}(\zeta)$が存在して$u(\zeta)=(\zeta-b)^{\rho}\tilde{h}(\zeta)$の様に書ける事が分かる。
\begin{eqnarray} u(\zeta)&=&\{\frac{\zeta-b}{\varphi^{'}(a)}+O((\zeta-b)^{2})\}^{\rho}h(\varphi^{-1}(\zeta))\\ &=&(\zeta-b)^{\rho}[\frac{h(\varphi^{-1}(\zeta))}{\{\varphi^{'}(a)\}^{\rho}}+O((\zeta-b)^{2})]\\ &=&(\zeta-b)^{\rho}\tilde{h}(\zeta) \end{eqnarray}
[4]上記よりMebious変換の下で指数方程式が不変である事を示せばいい事が分かる。
元の指数方程式を$I(q)$、変換後の指数方程式を$\tilde{I}(q)$と以下では表す事にする。
補題$5$より$y^{(n)}=\{\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\}^{n}u^{(n)}(\zeta)+\cdots$なのでモニックな微分演算子$\tilde{L}$が存在して$Ly(z)=\{\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\}^{n}\tilde{L}u(\zeta)$が成り立つ。
[5]定理2を用いる。そのために$y(z)|_{z=\varphi^{-1}(\zeta)}\coloneqq(z-a)^{\rho}|_{z=\varphi^{-1}(\zeta)}$の様に置いてこれを代入する。
\begin{equation} \tilde{L}(\zeta-b)^{\rho}\tilde{h}(\zeta)=\frac{L(z-a)^{\rho}h(z)}{\{\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\}^{n}} \end{equation}
[4-1]
\begin{eqnarray} \tilde{L}\{\frac{\zeta-b}{\varphi^{'}(a)}+O((\zeta-b)^{2})\}^{\rho}&=&\tilde{L}[\frac{(\zeta-b)^{\rho}}{\{\varphi^{'}(a)\}^{\rho}}+O(\zeta-b)^{\rho+1}]\\ &=&\frac{(\zeta-b)^{\rho-n}}{\{\varphi^{'}(a)\}^{\rho}}\{\tilde{I}(\rho)+O((\zeta-b))\} \end{eqnarray}
[4-2]
\begin{eqnarray} \frac{L(z-a)^{\rho}}{\{\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\}^{n}}&=&\frac{L(z-a)^{\rho}}{\{\varphi^{'}(a)\}^{n}}\\ &=&\frac{(z-a)^{\rho-n}I(\rho)}{\{\varphi^{'}(a)\}^{n}}\\ &=&\frac{\{\frac{\zeta-b}{\varphi^{'}(\rho)}+O((\zeta-b)^{2})\}^{\rho-n}I(\rho)}{\{\varphi^{'}(a)\}^{n}}\\ &=&\frac{(\zeta-b)^{\rho-n}}{\{\varphi^{'}(a)\}^{\rho}}\{I(\rho)+O((\zeta-b))\} \end{eqnarray}
ゆえに$(\zeta-b)^{\rho-n}$の係数を比較する事で$\tilde{I}(\rho)=I(\rho)$が得られるので証明完了。

\begin{eqnarray} (z+1)^{\rho}(z+1)^{\lambda}&=&\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\rho)_{\downarrow,m}(\lambda)_{\downarrow,n}}{m!n!}z^{m+n}\\ &=&\sum_{N=0}^{\infty}z^{N}\sum_{n=0}^{N}\frac{(\rho)_{\downarrow,n}(\lambda)_{\downarrow,N-n}}{n!(N-n)!}\\ &=&\sum_{N=0}^{\infty}z^{N}\frac{(\rho+\lambda)_{\downarrow,N}}{N!} \end{eqnarray}
ゆえに$z^{N}$の係数比較により求める式を得る。

[1]確定特異点が不変である事を示す。
実際の様に計算できるので
\begin{eqnarray} \frac{d^{n-k}}{dz^{n-k}}y&=& \frac{d^{n-k}}{dz^{n-k}}(z-a_{i})^{-\lambda}\psi\\ &=&\sum_{m=0}^{n-k}\begin{pmatrix}n-k\\m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,n-m}(z-a)^{-\lambda-n+k+m}\psi^{(m)} \end{eqnarray}
ゆえに
\begin{align} &L(p_{1},p_{2},...,p_{n})(z-a)^{-\lambda}\psi\\ &=\sum_{m=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,n-m}(z-a)^{-\lambda-n+m}\psi^{(m)}+\sum_{k=1}^{n}p_{k}\sum_{m=0}^{n-k}\begin{pmatrix}n-k\\m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,n-k-m}(z-a)^{-\lambda-n+k+m}\psi^{(m)} \end{align}
\begin{align} &[\psi^{(n-m)}]L(p_{1},p_{2},...,p_{n})(z-a)^{-\lambda}\psi\\ &=(z-a)^{-\lambda}[\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m}\frac{1}{(z-a)^{m}}+\sum_{k=1}^{m}\begin{pmatrix}n-k\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m-k}\frac{(z-a)^{k}p_{k}(z)}{(z-a)^{m}}] \end{align}
なので$\tilde{L}(\tilde{p_{1}},\tilde{p_{2}},...,\tilde{p_{n}})\coloneqq(z-a)^{\lambda}L(p_{1},p_{2},...,p_{n})$とすると
\begin{equation} \tilde{p}_{m}=\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m}\frac{1}{(z-a)^{m}}+\sum_{k=1}^{m}\begin{pmatrix}n-k\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m-k}\frac{(z-a)^{k}p_{k}(z)}{(z-a)^{m}} \end{equation}
が得られるので$(z-a)^{m}\tilde{p}_{m}(z)=\tilde{q}_{m}(z)\quad(m=1,2,...,n)$は$z=a$が元の微分方程式で確定特異点であれば、正則である事が示された。ゆえに確定特異点を不変に保つ事が示せた。
[2]
\begin{eqnarray} \tilde{q}_{m}(a)&=&\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m}+\sum_{k=1}^{m}\begin{pmatrix}n-k\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m-k}q_{k}(a) \end{eqnarray}
より下記の式を得る。
\begin{eqnarray} \tilde{I}(\rho)&=&(\rho)_{\downarrow,n}+\sum_{m=1}^{n}\tilde{q}_{m}(a)(\rho)_{\downarrow,n-m}\\ &=&(\rho)_{\downarrow,n}+\sum_{m=1}^{n}(\rho)_{\downarrow,n-m}\{\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m}+\sum_{k=1}^{m}\begin{pmatrix}n-k\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m-k}q_{k}(a) \}\\ &=&(\rho)_{\downarrow,n}+\sum_{m=1}^{n}(\rho)_{\downarrow,n-m}\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m}+\sum_{m=1}^{n}(\rho)_{\downarrow,n-m}\sum_{k=1}^{m}\begin{pmatrix}n-k\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m-k}q_{k}(a)\\ &=&\sum_{m=0}^{n}(\rho)_{\downarrow,n-m}\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m}+\sum_{k=1}^{n}q_{k}(a)\sum_{m=k}^{n}\begin{pmatrix}n-k\\n-m\end{pmatrix}(\rho)_{\downarrow,n-m}(-\lambda)_{\downarrow,m-k}\\ &=&(\rho-\lambda)_{\downarrow,n}+\sum_{k=1}^{n}q_{k}(a)\sum_{m=0}^{n}\begin{pmatrix}n-k\\n-k-m\end{pmatrix}(\rho)_{\downarrow,n-k-m}(-\lambda)_{\downarrow,m}\\ &=&(\rho-\lambda)_{\downarrow,n}+\sum_{k=1}^{n}q_{k}(a)(\rho-\lambda)_{\downarrow,n-k}\\ &=&I(\rho-\lambda) \end{eqnarray}
[3]さらに別の確定特異点$z=b\neq a,\infty$では
\begin{eqnarray} \tilde{p}_{m}&=&\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}(\lambda)_{\downarrow,m}\frac{1}{(z-a)^{m}}+\sum_{k=1}^{m}\begin{pmatrix}n-k\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m-k}\frac{(z-a)^{k}p_{k}(z)}{(z-a)^{m}}\\ &=&\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m}\frac{1}{(z-b+b-a)^{m}}+\sum_{k=1}^{m}\begin{pmatrix}n-k\\n-m\end{pmatrix}(-\lambda)_{\downarrow,m-k}\frac{(z-b+b-a)^{k}p_{k}(z)}{(z-b+b-a)^{m}} \end{eqnarray}
なので
\begin{eqnarray} \lim_{z\rightarrow b}(z-b)^{m}\tilde{p}_{m}(z)&=&\tilde{q_{m}}(b)\\ &=&q_{m}(b) \end{eqnarray}
これから
\begin{eqnarray} \tilde{I}(\rho)&=&I(\rho) \end{eqnarray}
[4]$z=\infty$の場合は$(z-a)^{\lambda}=w^{-\lambda}(1-aw)^{\lambda}$なので与えらた解は$w=0$で正則なある関数$h(w)$を用いて$y(w)=w^{\rho-\lambda}h(w)$と書ける。
この事から、[2]の場合で$a=0,\lambda\mapsto-\lambda$として適用し$\tilde{I}(\rho)=I(\rho+\lambda)$が言えた。

直感的な証明にとどめる。
球面上$\mathbb{P}^{1}$上で閉曲線$C$を描くと、閉曲線$C$で囲まれる領域は二つに分かれる。
一方にはすべての一位の極を含むように、他方には一つも一位の極が含まれない様にする。
双方で留数定理を適用する事で一方は$i2\pi\sum_{s\in\Omega}\Res_{s}fdz$、他方は$0$となり各々等しいので証明するべき式を得る。

以下、補題5の記号を用いる。
[1]$\varphi(z)=\frac{1}{z}$なので
\begin{equation} \varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))=-\zeta^{2} \end{equation}
[2]$A_{n,n-1}(\zeta)=(-1)^{n}n(n-1)\zeta^{2n-1}$を示す。
[2-1]$n=1$の場合は$A_{00}^{'}(\zeta)=0$
\begin{eqnarray} A_{1,0}(\zeta)&=&\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))A_{00}^{'}(\zeta)\\ &=&0 \end{eqnarray}
[2-2]$1,2,...,n$まで成立すると
\begin{eqnarray} A_{n+1,n}(\zeta)&=&\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\{A_{nn}^{'}(\zeta)+A_{n,n-1}(\zeta)\}\\ &=&2(-1)^{n+1}n\zeta^{2n+1}-(-1)^{n}n(n-1)\zeta^{2n+1}\\ &=&(-1)^{n+1}n(n+1)\zeta^{2n+1} \end{eqnarray}
を得るので正しい事が示された。
[3]上記計算により
\begin{eqnarray} \tilde{p}_{1}(\zeta)=\frac{1}{(-1)^{n}\zeta^{2n}}[\frac{d^{n-1}}{d\zeta^{n-1}}]\frac{d^{n}}{dz^{n}}+p_{1}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}&=&\frac{n(n-1)}{\zeta}-\frac{p_{1}(\frac{1}{\zeta})}{\zeta^{2}} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \zeta\tilde{p}_{1}(\zeta)&=&\tilde{q}(\zeta)\\ &=&\zeta\{\frac{n(n-1)}{\zeta}-\frac{p_{1}(\frac{1}{\zeta})}{\zeta^{2}}\}\\ &=&n(n-1)-\frac{p_{1}(\frac{1}{\zeta})}{\zeta} \end{eqnarray}
ゆえに以下の式を得る。
\begin{eqnarray} q(\infty)&=&\tilde{q}(0)\\ &=&n(n-1)+\Res_{z=\infty}p_{1}(z) \end{eqnarray}
以上の計算をまとめると
\begin{eqnarray} \sum_{a\in P\setminus\{\infty\}}\sum_{\rho\in\Omega(a)}\rho+\sum_{\rho\in\Omega(\infty)}\rho&=&\sum_{\rho\in\Omega(a)\setminus\{\infty\}}\{\frac{n(n-1)}{2}-q_{1}(a)\}+\frac{n(n-1)}{2}-n(n-1)-\Res_{z=\infty}p_{1}(z)\\ &=&\frac{n(n-1)}{2}(m-2)-\sum_{a\in P}\Res_{z=a}p_{1}(z)\\ &=&\frac{n(n-1)}{2}(m-2) \end{eqnarray}

[1]Fuchsの関係式より直ちに従う。
\begin{equation} \frac{2(2-1)}{2}(3-2)=1 \end{equation}
[2]以下、Gauge変換を組み合わせる事で$z=0,1,\infty$での指数の集合をそれぞれ$\{0,\rho_{0}\},\{0,\rho_{1}\},\{\rho_{\infty},\hat{\rho}_{0}\}$の様に書き直す事が出来るので
\begin{equation} \rho_{0}+\rho_{1}+\rho_{\infty}+\hat{\rho}_{\infty}=1 \end{equation}
を満たすように最初から決めておく。
[2-1]$z=0,1$で$p_{1}(z)$は一位の極を持ち、かつ$z=\infty$でも一位の極を持たないといけないので以下の式を得る。
\begin{equation} p_{1}(z)=\frac{c_{0}}{z}+\frac{c_{1}}{1-z} \end{equation}
定理1より
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1-c_{0}=\rho_{0}\therefore c_{0}=1-\rho_{0}\\ 1+c_{1}=\rho_{1}\therefore c_{1}=\rho_{1}-1 \end{array} \right. \end{eqnarray}
[2-2]$z=0,1$で$p_{2}(z)$が二位の極を持ち、$z=\frac{1}{\zeta}$の様に変数変換を施すと下記の関係がある事に注意すると
\begin{eqnarray} \tilde{p}_{2}(\zeta)=\frac{1}{\zeta^{4}}p_{2}(\frac{1}{\zeta}) \end{eqnarray}
\begin{equation} \tilde{q}_{2}(0)=\lim_{\zeta\rightarrow0}\zeta^{2}\tilde{p}_{2}(\zeta)=\lim_{\zeta\rightarrow0}\frac{1}{\zeta^{2}}p_{2}(\frac{1}{\zeta}) \end{equation}
が発散しない条件から以下の様に書ける。
\begin{equation} p_{2}(z)=\frac{A_{0}}{z^{2}}+\frac{A_{1}}{(1-z)^{2}}+\frac{B}{z(1-z)} \end{equation}
定理1より$A_{0}=A_{1}=0=0\rho_{0}=0\rho_{1}$を得る。
\begin{equation} B=-\rho_{\infty}\hat{\rho}_{\infty} \end{equation}
上記をまとめると$p_{1}(z),p_{2}(z)$はRiemannスキームから一意に表せる事が示せた。

[1]$z=0,1$が確定特異点である事はみれば分かるので省略。
無限遠点$z=\infty$の振る舞いを調べるために$z=\frac{1}{w}$と定める。
すると$\frac{d}{dz}=-w^{2}\frac{d}{dw}$が成り立つ。ゆえに
\begin{eqnarray} L(\frac{c-(a+b+1)z}{z(1-z)},-\frac{ab}{z(1-z)})&=&\frac{d^{2}}{dz^{2}}+\frac{c-(a+b+1)z}{z(1-z)}\frac{d}{dz}-\frac{ab}{z(1-z)}\\ &=&w^{4}\frac{d^{2}}{dw^{2}}+\{2w^{3}-\frac{c-(a+b+1)\frac{1}{w}}{\frac{1}{w}(1-\frac{1}{w})}w^{2}\}\frac{d}{dw}-\frac{ab}{\frac{1}{w}(1-\frac{1}{w})}\\ &=&w^{4}\frac{d^{2}}{dw^{2}}+\{2+\frac{cw-(a+b+1)}{1-w}\}w^{3}\frac{d}{dw}+\frac{abw^{2}}{1-w}\\ &=&0 \end{eqnarray}
より等価な微分方程式を得る。
\begin{equation} L(\frac{2}{w}+\frac{cw-(a+b+1)}{w(1-w)},\frac{ab}{w^{2}(1-w)})y=0 \end{equation}
そして
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lim_{w\rightarrow0}w(\frac{2}{w}+\frac{cw-(a+b+1)}{1-w})=2\\ \lim_{w\rightarrow0}w^{2}\frac{ab}{w^{2}(1-w)}=ab \end{array} \right. \end{eqnarray}
なので$z=\infty$が確定特異点である事が分かる。
[2]
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} at\ z=0\ \rho(\rho-1)+c\rho=0\ \therefore\ \rho=0,1-c\\ at\ z=1\ \rho(\rho-1)-\{c-(a+b+1)\}\rho=0\ \therefore\ \rho=0,c-a-b\\ at z=\infty\ \rho(\rho-1)+(1-a-b)\rho+ab=0\ \therefore\ \rho=a,b \end{array} \right. \end{eqnarray}