2025年共通テスト数学2BC第6問解説

はじめに

初めまして，甘茶です．今回は2025年に行われた共通テスト数学2BCの第6問（ベクトル）の解説をしていきたいと思います．問題自体の難易度はそこまで高くはないですが，試験本番で焦ってしまうと結構雪崩を起こしそうな問題です．間違いなどがあれば指摘いただけますと幸いです．

第6問 解説

$\text{問題文は他サイトを参照してください．}$
$(1)$
$S\text{は半径が 1 の球面であり，点 }\text{C}\text{ が球面}S\text{上にあるので，}|\overrightarrow{\text{OC}}{|}^2=1\text{となる．}$
$\text{また，三角形OABと三角形OBCは合同であるから，}\overrightarrow{\text{OA}}\text{･}\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA}}\text{･}\overrightarrow{\text{OB}}\text{である．}$
$\overrightarrow{\text{OA}}=(1,0,0)\text{であり，}\overrightarrow{\text{OC}}=(x,y,z)\text{から}\overrightarrow{\text{OA}}\text{･}\overrightarrow{\text{OC}}=x\text{となり，}$
$\overrightarrow{\text{OB}}=(a,\sqrt{1-a^2},0)\text{から}\overrightarrow{\text{OA}}\text{･}\overrightarrow{\text{OB}}=a\text{である．よって，}x=a\text{である．}$
$\text{また，}\overrightarrow{\text{OB}}\text{･}\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA}}\text{･}\overrightarrow{\text{OB}}\text{から}ax+(\sqrt{1-a^2})y=a\text{である．}$

$(2)$
$a={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{のとき，(1)}\text{より}x=a={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{である．}$
$\text{よって，}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2+\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2}y={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{であるから}x={\displaystyle \frac{3}{5}},y={\displaystyle \frac{3}{10}}\text{となる．}$
$\text{ここで}{x}^2+y^2+z^2=1\text{であるから，}{z}^2={\displaystyle \frac{2}{5}}\text{となる．}$
$z\text{は異なる二つの実数解を持つので，}S\text{上の点}\text{C}\text{はちょうど二つある．}$
$a=-{\displaystyle \frac{3}{5}}\text{のとき，先と同様にして}x=-{\displaystyle \frac{3}{5}},y=-{\displaystyle \frac{6}{5}}\text{を得る．}$
$\text{ゆえに}{z}^2=-{\displaystyle \frac{3}{5}}\text{となるが，これは実数解を持たない．よって，}S\text{上の点}\text{C}\text{はない．}$

$(3)$
$\text{先の議論より}x,y\text{を}a\text{を用いて表すと，}x=a,y={\displaystyle \frac{a(1-a)}{\sqrt{1-a^2}}}\text{である．}$
$x^2+y^2+z^2=1\text{であるから}{z}^2=1-x^2-y^2=1-a^2-{\displaystyle \frac{a^2(1-a{)}^2}{1-a^2}}\text{．}$
$\text{ゆえに，}{z}^2={\displaystyle \frac{(1-a^2{)}^2-a^2(1-a{)}^2}{1-a^2}}={\displaystyle \frac{(1-a{)}^2((1+a{)}^2-a^2)}{(1+a)(1-a)}}$
$\text{よって，}{z}^2={\displaystyle \frac{(1-a)(2a+1)}{1+a}}\text{となる．}{z}^2\geqq 0,1+a>0\text{であり，}$
$(1-a)(2a+1)\geqq 0\text{であるから，}(2a+1)(a-1)\leqq 0\text{となる．}$
$-1<a<1\text{であることに注意すると，}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a<1\text{である．}$