2025年共通テスト数学2BC第6問解説
はじめに
初めまして，甘茶です．今回は2025年に行われた共通テスト数学2BCの第6問（ベクトル）の解説をしていきたいと思います．問題自体の難易度はそこまで高くはないですが，試験本番で焦ってしまうと結構雪崩を起こしそうな問題です．間違いなどがあれば指摘いただけますと幸いです．
第6問 解説
$\text{\small問題文は他サイトを参照してください．}$
$\small(1)$
$\small{S}\hspace{2pt}\text{は半径が 1 の球面であり，点 \small{C} が球面}\hspace{2pt}\small{S}\hspace2pt\text{上にあるので，}|\overrightarrow{\text{OC}}|^2=1\hspace{2pt}\text{となる．}$
$\text{\smallまた，三角形OABと三角形OBCは合同であるから，}\overrightarrow{\text{\small{OA}}}\text{･}\overrightarrow{\text{\small{OC}}}=\overrightarrow{\text{\small{OA}}}\text{･}\overrightarrow{\text{\small{OB}}}\hspace{2pt}\text{\smallである．}$
$\overrightarrow{\text{\small{OA}}}=(1,0,0)\hspace{2pt}\text{\smallであり，}\overrightarrow{\text{\small{OC}}}=(x,y,z)\hspace{2pt}\text{\smallから}\hspace{2pt}\overrightarrow{\text{\small{OA}}}\text{･}\overrightarrow{\text{\small{OC}}}=x\hspace{2pt}\text{\smallとなり，}$
$\overrightarrow{\text{\small{OB}}}=(a,\sqrt{1-a^2},0)\hspace{2pt}\text{\smallから}\hspace{2pt}\overrightarrow{\text{\small{OA}}}\text{･}\overrightarrow{\text{\small{OB}}}=a\hspace{2pt}\text{\smallである．よって，}x=a\hspace{2pt}\text{\smallである．}$
$\text{\smallまた，}\overrightarrow{\text{\small{OB}}}\text{･}\overrightarrow{\text{\small{OC}}}=\overrightarrow{\text{\small{OA}}}\text{･}\overrightarrow{\text{\small{OB}}}\hspace{2pt}\text{\smallから}\hspace{2pt}ax+(\sqrt{1-a^2})y=a\hspace{2pt}\text{\smallである．}$
$\small(2)$
$a=\dfrac{3}{5}\hspace{2pt}\text{\smallのとき，(1)\hspace{2pt}より}x=a=\dfrac{3}{5}\hspace{2pt}\text{\smallである．}$
$\text{よって，}\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}y=\dfrac{3}{5}\hspace{2pt}\text{\smallであるから}x=\dfrac{3}{5},\hspace{2pt}y=\dfrac{3}{10}\hspace{2pt}\text{\smallとなる．}$
$\text{ここで}\hspace{2pt}x^2+y^2+z^2=1\hspace{2pt}\text{\smallであるから，}z^2=\dfrac{2}{5}\hspace{2pt}\text{\smallとなる．}$
$z\hspace{2pt}\text{\smallは異なる二つの実数解を持つので，}\small{S}\hspace{2pt}\text{\small上の点\hspace{2pt}C\hspace{2pt}はちょうど二つある．}$
$a=-\dfrac{3}{5}\hspace{2pt}\text{\smallのとき，先と同様にして}\hspace{2pt}x=-\dfrac{3}{5},\hspace{2pt}y=-\dfrac{6}{5}\hspace{2pt}\text{\smallを得る．}$
$\text{\smallゆえに}\hspace{2pt}z^2=-\dfrac{3}{5}\hspace{2pt}\text{\smallとなるが，これは実数解を持たない．よって，}\small{S}\hspace{2pt}\text{\small上の点\hspace{2pt}C\hspace{2pt}はない．}$
$\small(3)$
$\text{\small先の議論より}\hspace{2pt}x,\hspace{2pt}y\hspace{2pt}\text{を}\hspace{2pt}a\hspace{2pt}\text{\smallを用いて表すと，}x=a,\hspace{2pt}y=\dfrac{a(1-a)}{\sqrt{1-a^2}}\hspace{2pt}\text
{\smallである．}$
$x^2+y^2+z^2=1\hspace{2pt}\text{\smallであるから}\hspace{2pt}z^2=1-x^2-y^2=1-a^2-\dfrac{a^{2}(1-a)^{2}}{1-a^2}\hspace{2pt}\text{\small．}$
$\text{\smallゆえに，}z^2=\dfrac{(1-a^2)^2-a^{2}(1-a)^{2}}{1-a^2}=\dfrac{(1-a)^{2}((1+a)^{2}-a^{2})}{(1+a)(1-a)}$
$\text{\smallよって，}z^2=\dfrac{(1-a)(2a+1)}{1+a}\hspace{2pt}\text{\smallとなる．}z^2≧0,\hspace{2pt}1+a>0\hspace{2pt}\text{\smallであり，}$
$(1-a)(2a+1)≧0\hspace{2pt}\text{\smallであるから，}(2a+1)(a-1)≦0\hspace{2pt}\text{\smallとなる．}$
$-1< a<1\hspace{2pt}\text{\smallであることに注意すると，}-\dfrac{1}{2}≦a<1\hspace{2pt}\text{\smallである．}$
