数列の漸近的挙動を求める公式
はじめに
この記事では、シュトルツ=チェザロの定理を用いて以下の定理を示すことを目標とします。
実数の開区間 $I \subset \mathbb{R}$、および $I$ 上の関数 $f: I \to \mathbb{R}$ と $C^1$ 級関数 $g: I \to \mathbb{R}$ 及び $I$ 上の数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ が次の条件を満たしているとする。
- 任意の$x \in I$ に対して $f(x), g(x) \neq 0$
- 任意の $n \geq 1$ に対して $a_{n+1} - a_{n} = f(a_n)$
- 次の条件 A,B のどちらかを満たす
- (A) ある $L \in \bar{I}$ が存在して$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L, \ \lim_{x\to L} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ であり、かつ極限 $\displaystyle \lim_{x\to L} g'(x) = D > -1$ が存在する。
- (B) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \pm\infty, \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$ であり、かつ極限 $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} g'(x) = D > -1$ が存在する。
このとき $\Phi(x)$ を $\frac{1}{g(x)}$ の原始関数の一つとして、
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{\Phi(a_n)}{n} = C
\end{align}
が成り立つ。ここで、定数 $C$ は次のように与えられる。
\begin{align}
C = \begin{cases}
1 & (D = 0) \\
\dfrac{\log(1+D)}{D} & (D \neq 0)
\end{cases}
\end{align}
......主張だけ書かれても嬉しさがよくわからないので、実際に運用してみましょう。
$a_1 = \dfrac{1}{2}$ とし、数列 $\{a_n\}$ を漸化式 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{(1+a_n)^2} \ (n = 1,2,3,\cdots)$ によって定める。
このとき、次の等式
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} n a_n = \frac{1}{2}
\end{align}
を示せ。
漸化式と $a_1 = \dfrac{1}{2} > 0$ であることから、任意の $n$ に対して $a_n > 0$ であり、 また $a_{n+1} - a_n = a_n \left(\dfrac{1-(1+a_n)^2}{(1+a_n)^2}\right) < 0$ であることから、 $\{a_n\}$ は単調減少列とわかる。
したがって極限
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} a_n = L
\end{align}
が存在し、漸化式より $L$ は $ L = \dfrac{L}{(1+L)^2}$ を満たすので、 $L = 0$ または $L = -2$である。
さらに $a_n > 0$ より $L \geq 0$ であるから、 $L = 0$ とわかる。
よって $I, f(x)$ については $I = (0,\infty), \ f(x) = x\left(\dfrac{1-(1+x)^2}{(1+x)^2}\right) = \dfrac{-x^2(2+x)}{(1+x)^2}$ などとすれば良い。
定理 1 を適用するために逆数が積分しやすいような $g(x)$ を考えよう。
$x\to0$ において $(1+x)^2 \to 1, (2+x) \to 2$ であるから、 $g(x) = -2x^2$ とすれば良さそうである。
これは実際に $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ を満たし、$C^1$ 級で、かつ極限 $\displaystyle\lim_{x\to0} g'(x) = 0 > -1$ が存在することが簡単にわかる。よって
\begin{align}
D = \lim_{x\to0} g'(x) = \lim_{x\to0}-4x = 0, \ \Phi(x) = \int \frac{1}{g(x)} \ dx = \int -\frac{1}{2x^2} \ dx = \frac{1}{2x}
\end{align}
であることと合わせ、定理 1 を適用すると
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2na_n} = 1
\end{align}
とわかる。これを整理して
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} na_n = \frac{1}{2}
\end{align}
であることが示された。
準備
先程の定理を示す前に、重要な補題としてシュトルツ=チェザロの定理の特殊な場合を示します。
実数列 $\{y_n\}_{n=1}^{\infty} $ に対して、極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (y_{n+1} - y_n) = C$ が存在すれば
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{n} = C
\end{align}
が成り立つ。
$d_k = y_{k+1} - y_k$ とおく。仮定より $\lim_{k\to\infty} d_k = C$ であるから、任意の実数 $\epsilon > 0$ に対してある自然数 $N$ が存在して、任意の $n > N$ に対して $|d_n - C| < \dfrac{\epsilon}{2}$ となる。このとき、
\begin{align}
y_n = y_N + \sum_{k=N}^{n-1} d_k
\end{align}
が成り立つので、これを $n$ で割り、両辺から$C$ を引いて整理すると
\begin{align}
\frac{y_n}{n} - C = \frac{y_N - NC}{n} + \frac{1}{n} \sum_{k=N}^{n-1} (d_k-C)
\end{align}
を得る。これに三角不等式を適用すると
\begin{align}
\left|\frac{y_n}{n} - C\right| < \left|\frac{y_N - NC}{n}\right| + \frac{1}{n} \sum_{k=N}^{n-1} |d_k-C|
\end{align}
がわかる。ここでシグマ内の $|d_k - C|$ について、仮定から $|d_k - C| < \frac{\epsilon}{2}$ が成り立つから、
\begin{align}
\left|\frac{y_n}{n} - C\right| < \left|\frac{y_N - NC}{n}\right| + \frac{n-N}{n} \frac{\epsilon}{2} < \left|\frac{y_N - NC}{n}\right| + \frac{\epsilon}{2}
\end{align}
であり、更に $y_N, N, C$ は定数であるから、十分大きな $N' \geq N$ を選べば、任意の $n > N'$ について $\displaystyle \left|\frac{y_N - NC}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}$ となる。
したがって任意の $n > N'$ について
\begin{align}
\left|\frac{y_n}{n} - C\right| < \left|\frac{y_N - NC}{n}\right| + \frac{\epsilon}{2} < 2 \times \frac{\epsilon}{2} = \epsilon
\end{align}
が成り立つ。以上より
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{n} = C
\end{align}
である。
本題
これを使って最初に提示した定理を示しましょう。
実数の開区間 $I \subset \mathbb{R}$、および $I$ 上の関数 $f: I \to \mathbb{R}$ と $C^1$ 級関数 $g: I \to \mathbb{R}$ 及び $I$ 上の数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ が次の条件を満たしているとする。
- 任意の$x \in I$ に対して $f(x), g(x) \neq 0$
- 任意の $n \geq 1$ に対して $a_{n+1} - a_{n} = f(a_n)$
- 次の条件 A,B のどちらかを満たす
- (A) ある $L \in \bar{I}$ が存在して$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L, \ \lim_{x\to L} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ であり、かつ極限 $\displaystyle \lim_{x\to L} g'(x) = D > -1$ が存在する。
- (B) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \pm\infty, \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$ であり、かつ極限 $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} g'(x) = D > -1$ が存在する。
このとき $\Phi(x)$ を $\frac{1}{g(x)}$ の原始関数の一つとして、
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{\Phi(a_n)}{n} = C
\end{align}
が成り立つ。ここで、定数 $C$ は次のように与えられる。
\begin{align}
C = \begin{cases}
1 & (D = 0) \\
\dfrac{\log(1+D)}{D} & (D \neq 0)
\end{cases}
\end{align}
数列 ${x_n}$ を $x_n = \Phi(a_n)$ と定める。示すべきことは
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{n} = C
\end{align}
である。
微積分学の基本定理より、隣接する項の差 $x_{n+1} - x_n$ は次のように定積分で表される。
\begin{align}
x_{n+1} - x_n = \Phi(a_{n+1}) - \Phi(a_n) = \int_{a_n}^{a_{n+1}} \frac{1}{g(t)} \ dt
\end{align}
変数変換 $t = a_n + u f(a_n)$を行うと、$dt = f(a_n) \,du$ となり、以下の表示を得る。
\begin{align}
x_{n+1} - x_n = \int_0^1 \frac{f(a_n)}{g(a_n + u f(a_n))} \,du \quad \cdots (1)
\end{align}
次に、被積分関数を
\begin{align}
\frac{f(a_n)}{g(a_n + u f(a_n))} = \frac{f(a_n)}{g(a_n)} \cdot \frac{g(a_n)}{g(a_n + u f(a_n))}
\end{align}
と変形し、右側の分母に対し平均値の定理を適用しよう。
各 $u \in [0, 1]$ に対して、$a_n$ と $a_n + u f(a_n)$ の間に存在するある実数 $\zeta_{n, u}$ が存在して次を満たす。
\begin{align}
g(a_n + u f(a_n)) = g(a_n) + u f(a_n) g'(\zeta_{n, u})
\end{align}
両辺を $g(a_n) \neq 0$ で割ることにより、以下を得る。
\begin{align}
\frac{g(a_n + u f(a_n))}{g(a_n)} = 1 + u \frac{f(a_n)}{g(a_n)} g'(\zeta_{n, u})
\end{align}
したがって、式 (1) の被積分関数は次のように書ける。
\begin{align}
h_n(u) = \frac{f(a_n)}{g(a_n)} \cdot \frac{1}{1 + u \frac{f(a_n)}{g(a_n)} g'(\zeta_{n, u})}
\end{align}
ここで、$n \to \infty$ における $\zeta_{n, u}$ の極限を考える。
$\zeta_{n, u} \in J_n = [\min(a_n,a_{n+1}), \max(a_n,a_{n+1})]$ であるから、数列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ がある極限 $L$ に収束、または $\pm\infty$ に発散することとあわせ、はさみうちの原理より、任意の $u \in [0, 1]$ について $\zeta_{n, u}$ もまた $L$ に収束、または $\pm\infty$ に発散する。
さらに、$\zeta_{n, u}$ は $u$ に依存しない区間 $J_n = [\min(a_n,a_{n+1}), \max(a_n,a_{n+1})]$ に常に含まれているため、この収束は区間 $u \in [0, 1]$ 上で $u$ に関して一様収束である。
仮定より、$\displaystyle \lim_{x \to L} g'(x) = D$ または $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} g'(x) = D$ であるため、合成関数の一様収束性から次が成り立つ。
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} g'(\zeta_{n, u}) = D \quad (u \in [0, 1] \text{ で一様収束})
\end{align}
さらに、仮定より$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{f(a_n)}{g(a_n)} = 1$であるから、分母 $1 + u \frac{f(a_n)}{g(a_n)} g'(\zeta_{n, u})$ もまた $n \to \infty$ において $1 + u D$ に一様収束する。
$D > -1$ より、すべての $u \in [0, 1]$ において $1 + u D > 0$ である。さらに係数の $\frac{f(a_n)}{g(a_n)}$ も $1$ に収束するため、関数列 $h_n(u)$ についても
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} h_n(u) = \frac{1}{1 + u D} \quad (u \in [0, 1] \text{ で一様収束})
\end{align}
が成り立つ。
閉区間 $u \in [0, 1]$ 上での関数列の一様収束性から、極限操作と積分の順序交換が可能であり、
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 h_n(u) \,du = \int_0^1 \left( \lim_{n \to \infty} h_n(u) \right) \,du = \int_0^1 \frac{1}{1 + u D} \,du
\end{align}
とわかる。この定積分は
- $D = 0$ のとき
$\displaystyle \int_0^1 1 \,du = 1$ - $D \neq 0$ のとき：
$ \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1 + u D} \,du = \left[ \frac{\ln(1 + u D)}{D} \right]_0^1 = \frac{\ln(1+D)}{D} $
と計算できる。これより、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = C$ が示された。
最後に、補題 2 を $y_n = x_n$ として適用することで、
\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{n} = C \end{align}
が得られる。
