JMO2016本選4

$P(0,0)$ より $f(0)=0,1$ である．$f(0)=0$ のとき $P(0,x)$ から $f(x)=2x$ を得る．これは与条件を満たす．

以下 $f(0)=1$ とする．$P(x,0)$ より $f(-x)=f(x)+2x\ \tiny{\dots (♡)}$．これを与式に適用し，$y$ を $-y$ におきかえて $f(x+yf(x))=f(x)f(y)=f(y+xf(y))\ \tiny{\dots (☆)}$ を得る．

$f(a)=f(b)\neq 0$ なる $a,b\in\mathbb{R}$ に対し，☆に $y=\dfrac{-a-b}{2f(a)}$ を代入し，$x=a,b$ としたものを比較して $f\left(\dfrac{a-b}2\right)=f\left(\dfrac{b-a}2\right)$ を得る．いま♡より $a=b$ である．よって $f$ はとる値が $0$ 以外のところで単射$\ \tiny{\dots (♪)}$．

$f$ が零点を持たないとする．♪より $f$ は単射．☆とあわせて $x+yf(x)=y+xf(y)$．$y=1$ として $f$ は線形．零点が存在しないことから $f(1)=1=f(0)$ を得るが，これは♪に矛盾．

よって $f(t)=0$ なる $t$ をとれる．$P(x,t)$ から $f$ は全射．$f(s)=2$ なる $s$ がとれる．$P(s,y)$ より $f(2y-s)=2f(y)+2s\ \tiny{\dots (😊)}$．

$f(c)=f(d)=0$ なる $c,d\in\mathbb{R}$ に対し，😊で $y=c,d$ としたものを比較し，♪を適用することで $c=d$ を得る．

以上より $f$ は単射である．☆より $f$ は線形であり，$f(0)=1$ であることとあわせ $f(x)=-x+1$．これは与式をみたす．

以上より $f(x)\equiv 2x,\ f(x)\equiv -x+1$．