$$\newcommand{ab}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{abs}[1]{\mathbb{A_{R}}_{_{#1}}[x]}
\newcommand{ae}[0]{\qquad\mathrm{a.e.}}
\newcommand{bb}[0]{mathbb}
\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{C}[0]{\mathbb C}
\newcommand{cls}[2]{{\clsa_{#1}\!\!^{#2}}}
\newcommand{de}[0]{\coloneq}
\newcommand{f}[2]{{_{#1}F_{#2}}}
\newcommand{fg}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}
\newcommand{fh}[0]{\newcommand{\fg}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}}
\newcommand{g}[0]{\Gamma}
\newcommand{gf}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}
\newcommand{GL}[1]{\operatorname{GL}_{#1}(\C)}
\newcommand{h}[3]{\left[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix};#3\right]}
\newcommand{hgs}[3]{\left[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix};#3\right]}
\newcommand{i}[1]{{-{#1}}}
\newcommand{If}[0]{\mathrm{if}\quad}
\newcommand{imply}[0]{\implies}
\newcommand{isin}[0]{\in}
\newcommand{kd}[2]{\delta_{{#1},{#2}}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{m}[1]{\left(\matrix{#1}\right)}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{o}[2]{\ordi{#1}{#2}{}}
\newcommand{ok}[2]{\ordi{}{#1}{#2}}
\newcommand{ordi}[3]{\frac{d #1^{#3}}{d #2^{#3}}}
\newcommand{p}[2]{\part{#1}{#2}{}}
\newcommand{p}[2]{{_{#1}\phi_{#2}}}
\newcommand{part}[3]{\frac{\partial #1^{#3}}{\partial #2^{#3}}}
\newcommand{pk}[2]{\part{}{#1}{#2}}
\newcommand{pol}[0]{\operatorname{Pol}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{Res}[0]{\operatorname{Res}}
\newcommand{rsum}[1]{\sum_{#1}\!^\R}
\newcommand{sgn}[0]{\operatorname{sgn}}
\newcommand{SL}[1]{\operatorname{SL}_{#1}(\C)}
\newcommand{Speed}[0]{\operatorname{Speed}}
\newcommand{t}[0]{\vartheta}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{zero}[0]{\overline{\varphi}}
$$
一般二項定理
$$
\f10\hgs a-x=(1-x)^{-a}
$$
の$q$類似となるq-二項定理を示す．
$$
\p10\hgs a-{z;q}=\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}
$$
$$
f(a,z)=\p10\hgs a-{q;z}
$$
とすると，
\begin{align}
f(a,z)-f(aq,z)
&=\sum_{0< n}\frac{(a;q)_n-(aq;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\
&=\sum_{0< n}\frac{(aq;q)_{n-1}}{(q;q)_n}(1-a-(1-aq^n))z^n\\
&=-a\sum_{0< n}\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}z^n\\
&=-azf(aq;z)
\end{align}
であり，また
\begin{align}
f(a,z)-f(a;qz)
&=\sum_{0< n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(1-z^n)z^n\\
&=z\sum_{0\le n}\frac{(a;q)_{n+1}}{(q;q)_n}z^n\\
&=z(1-a)f(aq, z)
\end{align}
なので，これを整理して
$$
f(a,z)=\frac{1-az}{1-z}f(a, qz)
$$
となる．これを反復して用いることにより，
\begin{align}
f(a,z)
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(az;q)_n}{(z;q)_n}f(a,q^nz)\\
&=\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}f(a,0)\\
&=\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}
\end{align}
となって示される．
$q$二項定理において，$a=0$とすると
$$
\p10\hgs0-{q;z}=\sum_{0\le n}\frac{z^n}{(q;q)_n}=\frac1{(z;q)_\infty}
$$
を得る．また，$z\mapsto -z/a$とした式
$$
\p10\hgs a-{q;\frac za}=\frac{(-z;q)_\infty}{(-z/a;q)_\infty}
$$
において，$a\to\infty$とすると，
$$
\p00\hgs --{q;-z}=\sum_{0\le n}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n}z^n=(-z;q)_\infty
$$
また，指数法則
$$
(1-z)^\i a(1-z)^\i b=(1-z)^\i{a-b}
$$
の$q$類似は
$$
\p10\hgs a-{q;z}\p10\hgs b-{q;az}=\p10\hgs{ab}-{q;z}
$$
によって与えられることがわかる．
