q-二項定理の証明

$$f(a,z)={}_1{\varphi }_0[\begin{array}{c}a\\ -\end{array};q;z]$$
とすると，
$$\begin{array}{rl}f(a,z)-f(aq,z)& =\sum _{0<n}\frac{(a;q{)}_n-(aq;q{)}_n}{(q;q{)}_n}{z}^n\\ & =\sum _{0<n}\frac{(aq;q{)}_{n-1}}{(q;q{)}_n}(1-a-(1-a{q}^n))z^n\\ & =-a\sum _{0<n}\frac{(a;q{)}_{n-1}}{(q;q{)}_{n-1}}{z}^n\\ & =-azf(aq;z)\end{array}$$
であり，また
$$\begin{array}{rl}f(a,z)-f(a;qz)& =\sum _{0<n}\frac{(a;q{)}_n}{(q;q{)}_n}(1-z^n)z^n\\ & =z\sum _{0\le n}\frac{(a;q{)}_{n+1}}{(q;q{)}_n}{z}^n\\ & =z(1-a)f(aq,z)\end{array}$$
なので，これを整理して
$$f(a,z)=\frac{1-az}{1-z}f(a,qz)$$
となる．これを反復して用いることにより，
$$\begin{array}{rl}f(a,z)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(az;q{)}_n}{(z;q{)}_n}f(a,q^{n}z)\\ & =\frac{(az;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}f(a,0)\\ & =\frac{(az;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
となって示される．