今回示したいのは次の定理です．
$(K,P)$を素因子$P$に関する完備体，$\mfo,\mfp$をその付値環及び素イデアルとする．また，$\mfK=\mfo/\mfp$とする．このとき，次のことが成り立つ．
$f(X)\in\mfo[X]$に対して，$f(X)$の係数をmod$\mfp$で置き換えたものを$\overline{f}(X)$とする．このとき，$\overline{f}(X)$が$\mfK[X]$の元として，互いに素な二つの多項式$g^\prime(X),h^\prime(X)$を用いて$\overline{f}(X)=g^\prime(X)h^\prime(X)$と分解できるならば，
$$f(X)=g(X)h(X),\quad\overline{g}(X)=g^\prime(X),\quad \overline{h}(X)=h^\prime(X)$$
を満足する$\mfo[X]$の多項式$g(X),h(X)$が存在する．しかも，$g(X)$の次数は$g^\prime(X)$の次数と一致させることができる．
お前は何を言っているんだ．．．となりました．主張の意味は分かるのだけれども，どうしてこんなことを考えたのか全くワカラン．Henselさんは頑張ったんやなと思って，しずしずと使わせてもらいましょう．
（雑な）流れとしては
１．$f\equiv g_1h_1$mod$\mfp$となる$g_1,h_1\in\mfo[X]$が取れる．（$g_1\equiv g^\prime, h_1\equiv h^\prime$mod$\mfp$）
２．$f\equiv g_2h_2$mod$\mfp^2$となる$g_2,h_2\in\mfo[X]$が取れる．（$g_2\equiv g_1,h_2\equiv h_1$mod$\mfp$）
３．$f\equiv g_3h_3$mod$\mfp^3$となる$g_3,h_3\in\mfo[X]$が取れる．（$g_3\equiv g_2,h_3\equiv h_2$mod$\mfp^2$）
４．$f\equiv g_4h_4$mod$\mfp^4$となる$g_4,h_4\in\mfo[X]$が取れる．（$g_4\equiv g_3,h_4\equiv h_3$mod$\mfp^3$）
$\cdots$
となるので，これらの極限として$g,h$をとると，これが求める解です．ここで，$g_i,h_i$の次数は高々$n^\prime,n-n^\prime$とできます．
やっていきましょう．以下，$\nu_P(t)=1$となる$t$を取っておきます．
ステップ１は明らか．
ステップ２を示します．$\mfo[X]$の多項式$u,v$に対し，$g_2=g_1 + tu$，$h_2=h_1+tv$と置いてみます．このとき，$g_2\equiv g_1,h_2\equiv h_1$mod $\mfp$が，$\mfp=(t)$であることからわかります．ここで，もし
$$f-g_1h_1\equiv t(g_1v+h_1u)\quad\text{mod}\,\mfp^2\quad \cdots(1)$$
が満たされれば，$f\equiv g_1h_1+t(g_1v+h_1u)\equiv g_2h_2$mod$\mfp^2$が$g_2=g_1 + tu$，$h_2=h_1+tv$を代入して計算すれば分かります．なので，(1)式が満たされるように$u,v$を決めればよいわけです．ステップ1より，$f\equiv g_1h_1$mod$\mfp$なので$r\coloneqq t^{-1}(f-g_1h_1)$とすればこれは$\mfo[X]$の多項式で，$r\equiv g_1v + h_1 u$mod$\mfp$なる$u,v$を見つけられれば，(1)式が出るわけです．これは$g_1\equiv g^\prime,h_1\equiv h^\prime$mod$\mfp$で，$g^\prime,h^\prime$が互いに素であることから，こんな$u,v$は存在しますね．$u,v$の次数はどのようにとれるでしょうか．定め方より，$r$の次数は$n-1$以下だったので，$r\equiv g_1v + h_1 u$mod$\mfp$という式より，$v$は$n-n^\prime-1$以下，$u$は$n^\prime-1$以下です．よって$g_2,h_2$はそれぞれ$n^\prime,n-n^\prime$以下です！
以下同様にしてやっていけばokです．
さて，極限として$g,h$を取ると言っていましたが，具体的にどうやるかというと，上の議論から$\mfo[X]$の元の系列
$$g_1,g_2,\cdots;\quad h_1,h_2,\cdots$$
が取れます．これらは
$$g_i=\sum_{k=0}^{n^\prime}a_{ik}x^k,\quad h_i = \sum_{k=0}^{n-n^\prime}b_{ik}x^k$$
と表記できます．
$|a_{ik}-a_{jk}|\in\mfp^i$（$i< j$）より，$\{a_{ik}\}_i$は収束する．収束先を$a_k$とする．
$$g=\sum_{k=0}^{n^\prime}a_k x^k,\quad h=\sum_{k=0}^{n-n^\prime}b_k x^k$$
とおけば，$g_i,h_i$の作り方から，$g\equiv g_1\equiv g^\prime,h\equiv h_1\equiv h^\prime$．
また，$f\equiv gh$mod$\mfp^m$がすべての$m$について成り立つので，$f=gh$である．$g,h$の次数は高々$n^\prime,n-n^\prime$だったが，その和が$n$なのでよって$g$の次数は$n^\prime$．QED
なんか大変でしたね．お疲れさまでした．