関数Eを用いたコラッツ予想の証明

 
関数  E(n)の定義
関数 E(n) は次のように定義されます：
 
E(n) = (2n - n(-1)^n + 1/2 - 1/2(-1)^n )( 3/4 -1/4(-1)^n)
 
 
 1. 正の整数を返すことの証明
 
 偶数の場合

• 偶数 n  に対して、 (-1)^n = 1  です。
• 関数 E(n) は次のようになります：

 
E(n) = (2n – n・ 1 + 1/2- 1/2・ 1)  (3/4 – 1/4 ・ 1 )
 
 
E(n) =  (n )1/2= n/2  

• 1/2 は正の整数であり、偶数の場合には常に正の整数が返されます。

 
 奇数の場合

• 奇数 n  に対して、(-1)^n = -1 です。
• 関数  E(n)  は次のようになります：

 
E(n) = (2n - n (-1) +1/2 – 1/2 (-1) ) (3/4 + 1/4)
 
E(n) = (3n+1)1 = 3n + 1  

•  ( 3n + 1 ) は正の整数であり、奇数の場合にも正の整数が返されます。

 
  2. 任意の正の整数が最終的に 1 に収束することの証明
 
偶数の場合

• 偶数   n に対して、 E(n) = n/2 です。
• 繰り返し適用することで、数値が減少し続け、最終的に 1 に収束します。

 
 奇数の場合

• 奇数  n に対して、最初に E(n) = 3n+1 となり、次に偶数になります。
• 偶数の処理に移行し、その後、数値が減少し続け、最終的に 1 に収束します。

 
 サイクルの不存在

• 関数  E(n)  の処理により、数値は常に変化し続け、最終的には 1 に収束するため、サイクルは存在しません。

 
結論
関数  E(n) が任意の正の整数に対して正の整数を返し、繰り返し適用することで最終的に 1 に収束することが証明されました。これにより、関数  E(n) がコラッツ予想に関連する変換規則として適切であり、コラッツ予想が成立します