除法の原理と群論
算数でよく知られる除法の原理とは以下の主張である。
$$ (\forall a\in\mathbb{Z})(\forall b\in \mathbb{Z}\smallsetminus\{0\})(\exists!q,r\in\mathbb{Z})[a=bq+r,\,0\leq r<|b|]\;\;-(*)$$
これを少し変形すると、当たり前なことを言ってると思える。
剰余の原理$(*)$は以下と同値。
$$ (\forall b\in \mathbb{Z}\smallsetminus\set{0})\Big[\, \mathbb{Z}=\bigsqcup_{r\in\set{0,\cdots,|b|-1}}(r+b\mathbb{Z})\Big]$$
（ただし、$\bigsqcup$は非交和になっているという意味）
$b\in\mathbb{Z}^{\times}$を任意に固定する。
\begin{array}{rll}
&(\forall a\in\mathbb{Z})(\exists!q,r\in\mathbb{Z})[0\leq r\leq |b|-1,\,a=bq+r]\\
\Longleftrightarrow&(\forall a\in\mathbb{Z})(\exists! r\in\set{0,\cdots,|b|-1})(\exists q\in\mathbb{Z})[a=bq+r]&(∵\textsf{下の注})\\
\Longleftrightarrow&(\forall a\in\mathbb{Z})(\exists! r\in\set{0,\cdots,|b|-1})[a\in r+b\mathbb{Z}]\\
\Longleftrightarrow&(\forall a\in\mathbb{Z})\Big[(\exists r\in\set{0,\cdots,|b|-1})[a\in r+b\mathbb{Z}],\\
&\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\forall r_1,r_2\in\set{0,\cdots,|b|-1})[a\in r_1+\mathbb{Z},r_2+\mathbb{Z}\Rightarrow r_1=r_2]\Big]\\
\Longleftrightarrow&(\forall a\in\mathbb{Z})\Big[\displaystyle a\in\bigcup_{r\in\set{0,\cdots,|b|-1}}(r+b\mathbb{Z})\Big],\\
&(\forall r_1,r_2\in\set{0,\cdots,|b|-1})\Big[(\exists a\in\mathbb{Z})[a\in (r_1+b\mathbb{Z})\cap(r_2+b\mathbb{Z}))]\Rightarrow r_1=r_2\Big]&(∵\mathbb{Z}\neq\varnothing)\\
\Longleftrightarrow&\mathbb{Z}\subseteq\displaystyle \bigcup_{r\in\set{0,\cdots,|b|-1}}(r+b\mathbb{Z}),\\
&(\forall r_1,r_2\in\set{0,\cdots,|b|-1})\Big[r_1\neq r_2\Rightarrow (r_1+b\mathbb{Z})\cap(r_2+b\mathbb{Z})=\varnothing\Big]\\
\Longleftrightarrow&\mathbb{Z}=\displaystyle\bigsqcup_{r\in\set{0,\cdots,|b|-1}}(r+b\mathbb{Z})
\end{array}
$r$が一意なら自動で$q$も一意になる。$b\in\mathbb{Z}^{\times}$だからだ。$a=bq+r$のとき$\dfrac{a-r}{b}=q$になる。$r$が一意なら明らかに$q$も一意。
これは「$\set{0+b\mathbb{Z},1+b\mathbb{Z},\cdots,(|b|-1)+b\mathbb{Z}}$は$\mathbb{Z}$の分割になる」という主張である。（※$r\in r+b\mathbb{Z}$なので$r+b\mathbb{Z}\neq\varnothing$）
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