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京大理系数学2018-5

問題5

曲線 $y = \log x$ 上の点 $A$ $(t, \log t)$ における法線上に，点 $B$ を $A B = 1$ となるようにとる．ただし $B$ の $x$ 座標は $t$ よりも大きいとする．
(1) 点 $B$ の座標 $(u (t), v (t))$ を求めよ．また $(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t})$ を求めよ．
(2) 実数 $r$ は $0 < r < 1$ を満たすとし， $t$ が $r$ から $1$ まで動くときに点 $A$ と点 $B$ が描く曲線の長さをそれぞれ $L_{1} (r), L_{2} (r)$ とする．このとき，極限 $lim_{r \to + 0} (L_{1} (r) - L_{2} (r))$ を求めよ．

解答

(1)
まず， $y = \log x$ の点 $A$ における接線を求める．
それは明らかに， $y = \frac{1}{t} (x - t) + \log t$ である．
よって，点 $A$ における法線は $y = - t (x - t) + \log t$ である．
これと $(x - t)^{2} + (y - \log t)^{2} = 1$ の交点で $x$ 座標の大きい方が $B$ の座標なので， $B$ の座標は $(t + \frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}}, \log t - \frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}})$ ．
微分したものは， $(1 - \frac{t}{(1 + t^{2})^{\frac{3}{2}}}, \frac{1}{t} - \frac{1}{(1 + t^{2})^{\frac{3}{2}}})$ である．
(2)
$L_{1} (r) = \int_{r}^{1} \frac{\sqrt{t^{2} + 1}}{t} d t$
$L_{2} (r) = \int_{r}^{1} \frac{\sqrt{t^{2} + 1}}{t} (1 - \frac{t}{(1 + t^{2})^{\frac{3}{2}}}) d t$
なので，
$L_{1} (r) - L_{2} (r) = \int_{r}^{1} \frac{1}{1 + t^{2}} d t$
よって，答えは $π / 4$ である．