京大理系数学2018-5
曲線$y=\log x$上の点$A$$(t,\log t)$における法線上に，点$B$を$AB=1$となるようにとる．ただし$B$の$x$座標は$t$よりも大きいとする．
(1) 点$B$の座標$(u(t),v(t))$を求めよ．また$\left(\dfrac{du}{dt},\dfrac{dv}{dt}\right)$を求めよ．
(2) 実数$r$は$0< r<1$を満たすとし，$t$が$r$から$1$まで動くときに点$A$と点$B$が描く曲線の長さをそれぞれ$L_1(r),L_2(r)$とする．このとき，極限$\displaystyle\lim_{r\to+0}(L_1(r)-L_2(r))$を求めよ．
解答
(1)
まず，$y=\log x$の点$A$における接線を求める．
それは明らかに，$y=\dfrac{1}{t}(x-t)+\log t$である．
よって，点$A$における法線は$y=-t(x-t)+\log t$である．
これと$(x-t)^2+(y-\log t)^2=1$の交点で$x$座標の大きい方が$B$の座標なので，$B$の座標は$\displaystyle\left(t+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\log t-\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$．
微分したものは，$\displaystyle \left(1-\frac{t}{(1+t^2)^\frac{3}{2}},\frac{1}{t}-\frac{1}{(1+t^2)^\frac{3}{2}}\right)$である．
(2)
$\displaystyle L_1(r)=\int_r^1\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}dt$
$\displaystyle L_2(r)=\int_r^1\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}\left(1-\frac{t}{(1+t^2)^\frac{3}{2}}\right)dt$
なので，
$\displaystyle L_1(r)-L_2(r)=\int_r^1\frac{1}{1+t^2}dt $
よって，答えは$\pi/4$である．
おわりに
比較的取りやすい問題だと思います．
解答の細かいところは自分で補ってみてください．
