コンパクトからHausdorffの連続全単射は同相であることの代数的な証明
コンパクト空間$X$からHausdorff空間$Y$への連続全単射が同相であることは位相空間論で有名な命題であるが、これはフィルターの収束という概念を用いれば"代数的"に示すことができる。フィルターによる位相空間論についてはmathpediaなどによくまとまっていて、以下で引用する命題の証明などもそこを参照されたい。ただし、宗教上の理由により$f\colon X\to Y$と$X$上のフィルター$\mathcal{F}$に対して順像フィルターを$f_*[\mathcal{F}]$と表し、また$Y$上のフィルター$\mathcal{G}$に対して逆像フィルターを$f^*[\mathcal{G}]$と以下では表している。
$X,Y$を位相空間、$f\colon X\to Y$を写像とする。
このとき$x\in X$に対して以下は同値。
- $f$は$x$に於いて連続。
- $f(x)\in \lim f_*[\mathcal{N}_x]$が成り立つ。
- 任意の$X$上の超フィルター$\mathcal{U}$に対して$x\in\lim \mathcal{U}$なら$f(x)\in\lim f_*[\mathcal{U}]$となる。
- 任意の$X$上のフィルター$\mathcal{F}$に対して$x\in\lim \mathcal{F}$なら$f(x)\in\lim f_*[\mathcal{F}]$となる。
$X$を位相空間とする。
このとき以下は同値。
- $X$はHausdorff。
- $X$上のフィルター$\mathcal{F}$の収束点は一意。
$X$を位相空間とする。
このとき以下は同値。
- $X$はコンパクト。
- $X$上のフィルター$\mathcal{F}$は収束する細分を持つ。
- $X$上の任意の超フィルター$\mathcal{U}$は収束する。
$X$をコンパクト、$Y$をHausdorffとなる位相空間とする。このとき$f\colon X\to Y$が連続全単射なら同相写像である。
$f^{-1}\colon Y\to X$が連続であることを示せば良い。$y\in Y$と$Y$上の超フィルター$\mathcal{V}$で$y\in\lim\mathcal{V}$となるものを任意に取る。$f$は全単射なので$X$上の超フィルター$\mathcal{U}$で$f_*[\mathcal{U}]=\mathcal{V}$となるようなものが一意に存在する (単に$f$による逆像フィルター$f^*[\mathcal{V}]$を考えれば良い) 。以下のように計算できる。
\begin{align}
f^{-1}[\lim\mathcal{V}]&=f^{-1}[\lim f_*[\mathcal{U}]]\\
&=f^{-1}[f[\lim\mathcal{U}]]\\
&=\lim\mathcal{U}
\end{align}
よって$X$がコンパクトなので$x\in \lim\mathcal{U}$となる$x\in X$が存在する。$f$の連続性から$f(x)\in\lim f_*[\mathcal{U}]=\lim\mathcal{V}$となり、$Y$のHausdorff性から$f(x)=y$を得る。すなわち$f^{-1}(y)=x$であり、$f^{-1}(y)\in f^{-1}[\lim\mathcal{V}]$となることが分かる。
以下に群の場合の全単射群準同型が同型であることの証明を見てみよう。
$G,H$を群とし、$f\colon G\to H$を全単射群準同型とする。このとき$f$は同型写像である。
$f^{-1}\colon H\to G$が群準同型であることを示せば良い。面倒なので積が保たれることのみを確認する。
$y_0,y_1\in H$を任意に取る。$f$の全単射性から$f(x_0)=y_0$、$f(x_1)=y_1$が成り立つような$x_0,x_1\in G$が一意に存在する。以下ように計算できる。
\begin{align}
f^{-1}(y_0\times y_1)&=f^{-1}(f(x_0)\times f(x_1))\\
&=f^{-1}(f(x_0\times x_1))\\
&=x_0\times x_1\\
&=f^{-1}(x_0)\times f^{-1}(x_1)
\end{align}
よって$f^{-1}$は群準同型である。
このように証明にアナロジーがあることが分かるだろう。これらはモナド上の代数の言葉を使えば部分的に説明できる。群の圏$\mathsf{Grp}$とコンパクトHausdorff空間の圏$\mathsf{CHaus}$どちらの$\mathsf{Set}$への忘却関手もモナディックであることが背景にある。すなわち群の圏やコンパクトHausdorffの圏もあるモナド上の代数の圏と同値になる。群の場合は自由群モナドと呼ばれる、集合$X$から$X$で生成された自由群$F(X)$の台集合を返すモナドであり、コンパクトHausdorff空間の場合は超フィルターモナド$\beta$と呼ばれる集合$X$から$X$上の超フィルター全体$\beta(X)$を返すモナドとなる。具体的に代数としてはコンパクトHausdorff空間の場合、任意の超フィルターは収束先が一意に存在することから超フィルターを受け取って収束先を返すという無限項の演算を構造として持った代数として理解できる。そのような一般の$\mathsf{Set}$上のモナドの代数の圏に対して全単射準同型は同型であることが示せる。その証明を修正したものが上の証明になっている。
一般に位相空間をフィルターの収束により圏論的に扱う方法として関係$\beta$加群 (relational $\beta$ module) というのがBarrBarrによって考えられており、また倍圏$\mathbb{R}\mathsf{el}$上の超フィルターモナド$\beta$による$\beta$-モノイドとして扱えるため、豊穣圏や多重圏、距離空間などと統一的に扱うフレームワークも考えられているらしいCruttwell-Shulman。