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現代数学解説
文献あり

コンパクトからHausdorffの連続全単射は同相であることの代数的な証明

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コンパクト空間XからHausdorff空間Yへの連続全単射が同相であることは位相空間論で有名な命題であるが、これはフィルターの収束という概念を用いれば"代数的"に示すことができる。フィルターによる位相空間論については[1]などによくまとまっていて、以下で引用する命題の証明などもそこを参照されたい。ただし、宗教上の理由によりf:XYX上のフィルターFに対して順像フィルターをf[F]と表し、またY上のフィルターGに対して逆像フィルターをf[G]と以下では表している。

連続写像の特徴付け

X,Yを位相空間、f:XYを写像とする。
このときxXに対して以下は同値。

  1. fxに於いて連続。
  2. f(x)limf[Nx]が成り立つ。
  3. 任意のX上の超フィルターUに対してxlimUならf(x)limf[U]となる。
  4. 任意のX上のフィルターFに対してxlimFならf(x)limf[F]となる。
Hausdorff性の特徴付け

Xを位相空間とする。
このとき以下は同値。

  1. XはHausdorff。
  2. X上のフィルターFの収束点は一意。
コンパクト性の特徴付け

Xを位相空間とする。
このとき以下は同値。

  1. Xはコンパクト。
  2. X上のフィルターFは収束する細分を持つ。
  3. X上の任意の超フィルターUは収束する。

Xをコンパクト、YをHausdorffとなる位相空間とする。このときf:XYが連続全単射なら同相写像である。

f1:YXが連続であることを示せば良い。yYY上の超フィルターVylimVとなるものを任意に取る。fは全単射なのでX上の超フィルターUf[U]=Vとなるようなものが一意に存在する (単にfによる逆像フィルターf[V]を考えれば良い) 。以下のように計算できる。
f1[limV]=f1[limf[U]]=f1[f[limU]]=limU
よってXがコンパクトなのでxlimUとなるxXが存在する。fの連続性からf(x)limf[U]=limVとなり、YのHausdorff性からf(x)=yを得る。すなわちf1(y)=xであり、f1(y)f1[limV]となることが分かる。

以下に群の場合の全単射群準同型が同型であることの証明を見てみよう。

G,Hを群とし、f:GHを全単射群準同型とする。このときfは同型写像である。

f1:HGが群準同型であることを示せば良い。面倒なので積が保たれることのみを確認する。
y0,y1Hを任意に取る。fの全単射性からf(x0)=y0f(x1)=y1が成り立つようなx0,x1Gが一意に存在する。以下ように計算できる。
f1(y0×y1)=f1(f(x0)×f(x1))=f1(f(x0×x1))=x0×x1=f1(x0)×f1(x1)
よってf1は群準同型である。

このように証明にアナロジーがあることが分かるだろう。これらはモナド上の代数の言葉を使えば部分的に説明できる。群の圏GrpとコンパクトHausdorff空間の圏CHausどちらのSetへの忘却関手もモナディックであることが背景にある。すなわち群の圏やコンパクトHausdorffの圏もあるモナド上の代数の圏と同値になる。群の場合は自由群モナドと呼ばれる、集合XからXで生成された自由群F(X)の台集合を返すモナドであり、コンパクトHausdorff空間の場合は超フィルターモナドβと呼ばれる集合XからX上の超フィルター全体β(X)を返すモナドとなる。具体的に代数としてはコンパクトHausdorff空間の場合、任意の超フィルターは収束先が一意に存在することから超フィルターを受け取って収束先を返すという無限項の演算を構造として持った代数として理解できる。そのような一般のSet上のモナドの代数の圏に対して全単射準同型は同型であることが示せる。その証明を修正したものが上の証明になっている。

一般に位相空間をフィルターの収束により圏論的に扱う方法として関係β加群 (relational β module) というのがBarr[2]によって考えられており、また倍圏Rel上の超フィルターモナドβによるβ-モノイドとして扱えるため、豊穣圏や多重圏、距離空間などと統一的に扱うフレームワークも考えられているらしい[3]

参考文献

[2]
M. Barr, Relational algebras, Lectures Notes in Mathematics 137: Reports of the Midwest Category Seminar IV, 1970, 39–55
[3]
G. S. H. Cruttwell and M. A. Shulman, A unified framework for generalized multicategories., Theory and Applications of Categories [electronic only] , 2010, 580–655
投稿日:2024617
更新日:2024617
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