文献あり

自作問題(高校数学①)の解答

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こんにちは。秋です。結構重めの記事を書こうかと思っていましたがやりたいこと、やることが増えたので過去に公開した問題の解説でもしようかと思います(多分需要はない)。
Twitterの実績ツリーやLINEオープンチャット「まったり数学部屋」の第3回マスコンにもあるのでそちらも是非お願いします(宣伝)。

問題

2022 京都大理系第1問改題

$3.8 < \log_{7} 2023 < 4$ を示せ。
$0.301 < \log_{10} 2 < 0.3011$ は用いてよい。

シンプルですね。この問題のできた経緯もシンプルで、今年だったらどうなるだろうと思い、小数第一位まで評価できればいいなと底をいじりながら評価を繰り返した結果がこれです。ちなみに $\log_{7} 2023 = 3.911967282180 . . .$ しょうがない。底が大きければ大きいほど $\log_{10} 2$ のお馴染み桁数だけで $10^{- 1}$ まで出せる奇数は限られますね。まあ底が小さいほどゴリ押ししちゃおうと考える人が増えるので悩みどころです。
難易度としてはそこまで難しくはなく計算問題としての側面が強いと思います

解答

$7^{4} = 7^{3} \cdot 7 = 343 \cdot 7 > 300 \cdot 7 = 2100 > 2023$
よって $\log_{7} 2023 > 4$ は成り立つ。
次に $\log_{7} 2023 > 3.8$ を示す。
$2023 = 7 \cdot 17^{2}$ より
$\log_{7} 2023 = \log_{7} 7 + \log_{7} 17^{2} = 1 + 2 \log_{7} 17$
ゆえに $\log_{7} 2023 > 3.8 \Leftrightarrow \log_{7} 17 > 1.4$
したがって $\log_{7} 17 > 1.4$ を示せば十分。

解1 結構ゴリゴリ計算

$2^{4} (= 16) < 17$ より $\log_{7} 2^{4} < \log_{7} 17 \cdot \cdot \cdot ①$
また $\log_{7} 2^{4} = 4 \log_{7} 2 = \frac{4 \log_{10} 2}{\log_{10} 7} > \frac{4 \cdot 0.301}{\log_{10} 7} = \frac{1.204}{\log_{10} 7}$
ここで $7 (= \sqrt{49}) < \sqrt{50}$ より
$\log_{10} 7 < \frac{1}{2} \log_{10} 50 = \frac{1}{2} \log_{10} \frac{100}{2} = 1 - \frac{1}{2} \log_{10} 2 < 1 - \frac{1}{2} \cdot 0.301 = 0.8495$
この2式から
$\log_{7} 2^{4} > \frac{1.204}{0.8495} = 1.4173 \dots > 1.4$
よって①より $\log_{7} 17 > 1.4$
したがって題意は示された。

解2 素晴らしい解答(友人より)

(同様に $7 < \sqrt{50}$ から $\log_{10} 7 < 0.8495 \cdot \cdot \cdot ①$ )
$250 < 17^{2} (= 289)$ より $\log_{10} 250 < \log_{10} 17^{2}$
$250 = \frac{10^{3}}{2^{2}}$ と考えて $3 - 2 \log_{10} 2 < 2 \log_{10} 17$
よって $2 \log_{10} 17 > 3 - 2 \cdot 0.3011 = 2.3978$
$∴ \log_{10} 17 > 1.1989 \cdot \cdot \cdot ②$
①,②より $7 \log_{10} 7 < 5.9465 < 5.9945 < 5 \log_{10} 17$
したがって $7^{7} < 17^{5}$
よって $\log_{7} 7^{7} < \log_{7} 17^{5}$
すなわち $7 < 5 \log_{7} 17$
$∴ \log_{7} 17 > \frac{7}{5} = 1.4$
したがって題意は示された。

解3 ゴリラ

$7^{7} = 823543, 17^{5} = 1419857$ より $7^{7} < 17^{5}$
したがって両辺に底 $7$ の対数をとって
$7 < 5 \log_{7} 17 ⟺ \log_{7} 17 > 1.4$
(証明終)
正直に言うと優秀な計算機(参考文献)を使ってしまったので手計算で本当に正しいのか確かめておきました。
検算