数学コンテストの関数方程式の問題まとめ① (R→R基本)
はじめに
個人的な興味から数学コンテスト等に出てくる関数方程式(functional equation:FE)の問題を100問以上収集しました。問題は主にAOPSから集めました。
このページではオーソドックスな2変数からなる$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$や$\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$の関数方程式が与えられ，関数を決定する問題を掲載しています。
本来の問題文では，通常は以下のように記載されていますが，
$\mathbb{R}$を実数全体の集合とする. 任意の$x,y \in \mathbb{R}$に対して
$f(x^2+f(y))=y+{f(x)}^2$
が成り立つような関数$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をすべて求めよ.
このページではこれを簡略化して以下のように記載しています。
$f(x^2+f(y))=y+{f(x)}^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
とくに記載がない場合，与式の変数には$f$の定義域の値をすべて代入でき，題意は与式をみたす$f$をすべて求めることにあります。
$\mathbb{R}$は実数全体の集合，$\mathbb{Q}$は有理数全体の集合です。
$f^k(x)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{k\text{ 個}}(x)\ldots))$ です。
解答は記載しておりませんので，必要に応じAOPS等をご確認下さい。
入れ子になっていないFE
数オリの多くのFEの問題では$f(f(x))$のような入れ子構造が登場しますが，入れ子構造がない問題も意外とあります。
$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$ f (x ^ 2-y ^ 2) = (x-y) (f (x) + f (y)) $ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2)-f(y^2)=(x+y)(f(x)-f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2 - y^2) = (x+y)(f(x) - f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2) - yf(y) = f(x + y) (f(x) - y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$ f(x+y+xy)=f(x)+f(y)+f(xy)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
はコーシーの関数方程式と同値であることを示せ.
$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$ $(\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q})$
ただし$f(1)=2$
$ f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f(-1) \neq 0$
$(x − y)f(x + y) − (x + y)f(x − y) = 4xy(x^2 − y^2 )$ $(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f (x + y) = f (x)f (y) - f(xy) + 1$ $(\mathbb{Q} \to \mathbb{R})$
$f(xy + 2x + 2y - 1) = f(x)f(y) + f(y) + x -2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$(x^2+y^2)f(xy)=f(x)f(y)f(x^2+y^2)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xy - 1) + f(x)f(y) = 2xy - 1$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x)f(y)f(x-y)=x^2f(y)-y^2f(x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x)f(y)=f(xy-1)+yf(x)+xf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$x^2f(x)+yf(y^2)=f(x+y)f(x^2-xy+y^2)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
入れ子になっているFE
FEをどう分類したものか難しいですが、とりあえず関数の外に出ている文字でまず分類しました。
外に出ている文字が$ax$
$f(x^2+f(y))=y+{f(x)}^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(x)+f(y))={f(x)}^2+y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$(y+1)f(x)+f(xf(y)+f(x+y))=y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(y-f(x))=f(x)-2x+f(f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x + yf(x)) = f(xf(y)) - x + f(y + f(x))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(x)+f(x)f(y)+y-1)=f(xf(x)+xy)+y-1$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x))+f(f(y))=2y+f(x-y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$xf(y) + f(xf(y)) - xf(f(y)) - f(xy) = 2x + f(y) - f(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x) + y) = 2x + f(f(y) - x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2+f(y))=f(x)^2-y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f( xf(x) + f(y) ) = f^2(x) + y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$ f(xy) = yf(x) + x + f(f(y) - f(x)) $ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y) + y) + f(−f(x)) = f(yf(x) − y) + y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)+y)+1=f(x^2+y)+2f(x)+2y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f( yf(x + y) + f(x) ) = 4x + 2yf(x + y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
外に出ている文字が$ax^2$
$f(x + f(y)) = f(x) + y^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(x) + y) = f(y) + x^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x+y)f(x-y))=x^2-yf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+yf(x+y))=f(x)+f(xy)+y^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2y^2=0$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし，$f(x) \geq 0 \quad\forall x \in \mathbb{R} $
$f(x + yf(x + y)) = y^2 + f(xf(y + 1))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2 +xy+ f(y^2))=xf(y)+y^2+ f(x^2)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+yf(x+y)) +xf(x)= f(xf(x+y+1))+y^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
外に出ている文字が$axy$
$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x-y))=f(x)-f(y)-f(x)f(y)-xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$ f(f(x − y)) = f(x)f(y) − f(x)+ f(y)−xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f (xf (y) + f (x)) = 2f (x) + xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y)-f(x))=2f(x)+xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y)-yf(x))=f(xy)-xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x) − y)^2 = f(x)^2 + 2xy + f(y)^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y)+f(x)+y)=xy+f(x)+f(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y) + x) = xy + f(x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)f(y)-1) = xy - 1$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y)-y) + f(xy-x) + f(x+y) = 2xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x)+f(yf(x)+f(y))=f(x+2f(y))+xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y)+f(f(y)))+yf(f(x))=f((f(f(x))+1)f(y))+xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
その他、外に単体で文字が出ている
$f(x+yf(x))+y = xy + f(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+f(y))+xy=f(x)f(y)+f(x)+y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+f(y))-f(x)=(x+f(y))^4-x^4$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f( xf(x) + 2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1 $ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(x-y))+yf(x)=x+y+f(x^2)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$y^2f(x) + x^2f(y) + xy = xyf(x + y) + x^2 + y^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
2項のFE
これ以降の分類は更に困りましたが，とりあえず与式の項の数で分類することにしました。
$f(xy+f(x))=xf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+f(y)^2 ) = {f(x+y)}^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f(0) \in \mathbb Q$
$f(f(x) + xy)= f(x)f(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x-y)-yf(x))=xf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2+y^2+2f(xy))={f(x+y)}^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f( y^2 + 2xf(y) + f(x)^2 ) = (y + f(x))(x + f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x f(y) − y^2) = (y + 1)f(x − y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$(x-y)(f(f^2(x))-f(f^2(y)))=(f(x)-f(y))(f^2(x)-f^2(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f(0)=0,f(1)=2013$
$f(x^2 + f(x)f(y)) = xf(x + y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xy+f(x^2))=xf(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x(x + f(y))) = (x + y)f(x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$(x+y)f(x+y)= f(f(x)+y)f(x+f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)-x+y^2)=yf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x)f(y)f(x+y)=f(xy)(f(x)+f(y))$ $(\mathbb{Q} \to \mathbb{R})$
$\displaystyle f(x + y)(f(x + y) + 2f(x)) = f(y) \left( f(x + 1)^2 + f \left( x + \frac{y}{2} \right)^2 \right)$ $(\mathbb{Q} \to \mathbb{R})$
3項のFE
$f(x+y)f(f(x)-y)=xf(x)-yf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x)f(yf(x) - 1) = x^2 f(y) - f(x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x) + x + y) = f(x + y) + yf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(y)) + f(x − y) = f(xf(y) − x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$ f(xf(y)+y^3)=yf(x)+f(y)^3 $ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2y ) = f (x y ) + y f (f (x ) + y )$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$xf(f(x)-f(y))=xf(x)-f(xy)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f ( f (x)+y) = f (x^2 -y)+4 f (x)y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)+y) = f(f(x)-y)+4f(x)y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2 + y) = f(f(x) − y) + 4f(x)y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$x f(x + xy) = x f(x) + f ( x^2) f(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)f(y)+y)=f(x)y+f(y-x+1)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x f(y) + f(x)) + y = f(x)f(f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$yf(x+1)=f(x+y-f(x))+f(x)f(f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+yf(x^2))=f(x)+xf(xy)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xy) = f(x)f(y) + f(f(x + y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2)+f(xy)=f(x)f(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)) + f(f(y)) = f(x + y)f(xy)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f(0)\neq 0$
$f(f(x)-y)+f(2x)y=f(x^2+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x) + xf(y))= 3f(x) + 4xy$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$(f(x)+xy)f(x-3y)+(f(y)+xy)f(3x-y)={f(x+y)}^2$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2)+f(2y^2)=(f(x+y)+f(y))(f(x-y)+f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
4項のFE
${f(x)}^2+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+f(y^2)) + f(xy) = f(x) + yf(x+y)$ $(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
$f(f(x) + y) + xf(y) = f(xy + y) + f(x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$\displaystyle f(2xy + \frac{1}{2}) + f(x-y) = 4f(x)f(y) + \frac{1}{2}$ $(\mathbb{Q} \to \mathbb{Q})$
$f(xy+f(x)) + f(y) = xf(y) + f(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$(f(x)+y)(f(y)+x)=f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$ f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ $(\mathbb{Q} \to \mathbb{Q})$
$f(xf(y)) + f(f(x) + f(y)) = yf(x) + f(x + f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$ f(x)f(y) = xf(f(y-x)) + xf(2x) + f(x^2) $ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y)+2y)=f(xy)+xf(y)+f(f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x + y + yf(x)) = f(x) + f(y) + xf(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2 + xy) = f(x)f(y) + yf(x) + xf(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(f(x+y) - f(x)) + f(x)f(y) = f(x^2) - f(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$ f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy) $ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(x + y)) + f(x + y) = (x + 1)f(x) + f(yf(x))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x)f(y) -f(x +y) =yf(x) - f(x + f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし, $f(-1)=-1$
$f(xy − x) + f(x + f(y)) = yf(x) + 3$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f(0)+1 = f(1)$
5項のFE
$f(x-f(y))={f(f(y))}^2+xf(y)+f(x)-1$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2)+f(xy)=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2+xy^2+y^2)=2x^2f(y)+2xf(f(y))+f(−x^2−xy^2)+f(y^2)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
5以上の係数が出てくるFE
以下のようなやつです。目につくのでまとめました。
$f(x+2y)+f(2x-y)=5f(x)+5f(y)$ $(\mathbb{Q} \to \mathbb{Q})$
$f(f(x) + 2y)= 6x + f(f(y) -x)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$yf(2x) - xf(2y) = 8xy(x^2 - y^2)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f (f(x) + 2f(y)) = f(2x) + 8y + 6$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(2x + f(y)) + f(f(y)) = 4x + 8y$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x + yf(x)) + f(xy) = f(x) + f(2019y)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
文字が外に出ていないFE
文字が外に出ておらず，(関数内を除いて)関数どうしが積の形にもなっていない，以下のような問題です。個人的に特別感があると思っているのでまとめました。
$f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xf(y))+f(y)=f(x+y)+f(xy)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(xy) + f(f(y)) = f((x + 1)f(y))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f(x + y) = f(x − y) + f(f(1 − xy))$ $(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
