完全数が面白い

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完全数ってなに？

完全数の定義は「その数字自身を除く約数の和がその数字自身に等しい自然数」と定義されています。例えば、1番目の完全数である6を例に取ると、6の約数(1,2,3,6)のうち6を除いた(1,2,3)の和は6になっています。28、496、8128なんかも完全数です。

未解決問題

こんなに美しい完全数ですが、無数にあることや奇数の完全数が存在することの証明がなされていません。現時点（2024.12）では52個しか見つけられておらず、未解決問題の一つです。
そういえば最近52番目のメルセンヌ素数が発見されたって聞いたような...
（メルセンヌ素数とは：$2^{n}$-1　で表されるような数のうち、素数であるような数のことです。）

完全数とメルセンヌ素数

実は、メルセンヌ素数と偶数の完全数は１対１に対応していると言われています。
先に式を紹介します。

$2^{n}$-1が素数であるようなnについて、
($2^{n-1}$)($2^{n}$-1)　が偶数の完全数になります。

なぜこのようになるのか、解説していきます。

自然数aとbの約数を、
a=$p_{1}^{k_{1}}$$\cdot$$p_{2}^{k_{2}}$$\cdot$$p_{3}^{k_{3}}$...$p_{i}^{k_{i}}$
b=$q_{1}^{t_{1}}$$\cdot$$q_{2}^{t_{2}}$$\cdot$$q_{3}^{t_{3}}$...$q_{i}^{t_{i}}$
とすると、
$ab$=$p_{1}^{k_{1}}$$\cdot$$p_{2}^{k_{2}}$$\cdot$$p_{3}^{k_{3}}$...$p_{i}^{k_{i}}$$\cdot$$q_{1}^{t_{1}}$$\cdot$$q_{2}^{t_{2}}$$\cdot$$q_{3}^{t_{3}}$...$q_{i}^{t_{i}}$
と表すことができます。

ここで、約数の総和の公式を使います。

$\sigma$($ab$)=(1+...$p_{1}^{k_{1}}$)...(1+$p_{i}^{k_{i}}$)(1+...$q_{1}^{t_{1}}$)...(1+$q_{i}^{t_{i}}$)=$\sigma$(a)$\sigma$(b)

$2^{n}-1$　が素数であるとき、
$\sigma$(a)=$\sigma$($2^{n-1}$)$\sigma$($2^{n}-1$)
=(1+...$2^{n-1}$)(1+...$2^{n}-1$)
=($2^{n}-1$)$\cdot$$2^{n}$
=$2a$
が成り立つので、$a$は完全数であると証明されます。