初等整数論：(a,b,c)=((a,b),c)

$$\begin{array}{r}(a,b,c)=g\\ (d,c)=h\\ (a,b)=d\end{array}$$
とおく。
$h$は$d$の約数だから$d=h{d}^{\prime }$とおける。$d$は$a$の約数だから$a=d{a}^{\prime }$とおける。これらの式から$a=h{d}^{\prime }{a}^{\prime }$を得る。よって$h$は$a$の約数。同様に$h$は$b$の約数。また$h$は$c$の約数なので、$h$は$a,b,c$の公約数。
ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$h$は$g$の約数。

次に$g$は$a$の約数、かつ$b$の約数なので$a,b$の公約数。ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$g$は$d$の約数。また$g$は$c$の約数なので、$g$は$d,c$の公約数。
ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$g$は$h$の約数。
以上より、$g$と$h$はお互いがお互いの約数なので$g=h$。よって公式が示された。