整数$n$と$m$の最大公約数を$(n,m)$で表す。
$$(a,b,c)=((a,b),c)$$
$$
\BEQ
(a,b,c)=g\\
(d,c)=h\\
(a,b)=d
\EEQ
$$
とおく。
$h$は$d$の約数だから$d=hd'$とおける。$d$は$a$の約数だから$a=da'$とおける。これらの式から$a=hd'a'$を得る。よって$h$は$a$の約数。同様に$h$は$b$の約数。また$h$は$c$の約数なので、$h$は$a,b,c$の公約数。
ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$h$は$g$の約数。
次に$g$は$a$の約数、かつ$b$の約数なので$a,b$の公約数。ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$g$は$d$の約数。また$g$は$c$の約数なので、$g$は$d,c$の公約数。
ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$g$は$h$の約数。
以上より、$g$と$h$はお互いがお互いの約数なので$g=h$。よって公式が示された。