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初等整数論：(a,b,c)=((a,b),c)
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0
$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}}
\newcommand{ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{Df}[2]{\frac{\varDelta}{\varDelta #2} #1}
\newcommand{Dfn}[3]{\frac{\varDelta^{#3}}{\varDelta #2^{#3}} #1}
\newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}}
\newcommand{floor}[1]{ \left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{FT}[1]{ \mathcal{F}\left[#1\right]}
\newcommand{hgf}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4}\,;\,#5\right)}
\newcommand{IFT}[1]{ \mathcal{F^{-1}}\left[#1\right]}
\newcommand{ILT}[1]{\mathcal{L^{-1}}\left[#1\right]}
\newcommand{Iz}[0]{\int_z^{\infty} }
\newcommand{IZT}[1]{\mathcal{Z^{-1}}\left[#1\right]}
\newcommand{LT}[1]{\mathcal{L}\left[#1\right]}
\newcommand{SI}[1]{\sum_{#1=1}^{\infty}}
\newcommand{Sm}[2]{\sum #1 \varDelta #2 }
\newcommand{SmLm}[4]{\sum_{#1}^{#2} #3 \varDelta #4}
\newcommand{SO}[1]{\sum_{#1 = 0}^{\infty}}
\newcommand{Up}[2]{#1^{\overline{#2}}}
\newcommand{ZT}[1]{\mathcal{Z}\left[#1\right]}
$$
整数$n$と$m$の最大公約数を$(n,m)$で表す。
最大公約数の結合則
$$(a,b,c)=((a,b),c)$$
$$
\BEQ
(a,b,c)=g\\
(d,c)=h\\
(a,b)=d
\EEQ
$$
とおく。
$h$は$d$の約数だから$d=hd'$とおける。$d$は$a$の約数だから$a=da'$とおける。これらの式から$a=hd'a'$を得る。よって$h$は$a$の約数。同様に$h$は$b$の約数。また$h$は$c$の約数なので、$h$は$a,b,c$の公約数。
ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$h$は$g$の約数。
次に$g$は$a$の約数、かつ$b$の約数なので$a,b$の公約数。ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$g$は$d$の約数。また$g$は$c$の約数なので、$g$は$d,c$の公約数。
ここで二つ以上の整数の公約数は、それら整数の最大公約数の約数なので、$g$は$h$の約数。
以上より、$g$と$h$はお互いがお互いの約数なので$g=h$。よって公式が示された。
参考文献
[1]
高木 貞治, 初等整数論講義 第2版
投稿日：2023年6月10日
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