JJMO 2016 P4の一般化とorthotransversalについて

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かえでです．
幾何について書きます．

本題

JJMO 2016 P3

鋭角三角形 $A B C$ において， $外心$ を $O$ ，垂心を $H$ とする．また， $O$ を通り直線 $B C$ に平行な直線と辺 $A B, A C$ の交点をそれぞれ $P, Q$ とし，線分 $A H$ の中点を $M$ とする．このとき， $∠ B M P = ∠ C M Q$ を示せ．

これの一般化を与えて示していきます．

一般化の準備(前提知識)

三角形 $A B C$ において，その外心を $O$ とする． $O$ を通る直線 $l$ の三角形 $A B C$ での等角共役での像 $H$ は三角形 $A B C$ に外接する直角双曲線になる．

Second Fonteneの定理

$l$ または $H$ 上の点の三角形 $A B C$ に対する垂足円はすべて九点円上の点 $X$ で交わる．特に， $X$ は $H$ の中心である．また， $X$ を $l$ のGriffiths点という．

それぞれ証明は省きます．(各自調べるなどしてください)

一般化

それでは，冒頭の問題の一般化を与えていきます．

JJMO 2016 P4の一般化

鋭角三角形 $A B C$ において，その外心を $O$ とし， $O$ を通る直線 $l$ を取る． $l$ の等角共役の中心を $X$ とし， $E = A B \land l, F = A C \land l$ とする．このとき， $∠ B X E = ∠ C X F$ が成り立つ．

$l$ を直線 $B C$ と平行に取ったとき， $X$ が $A H$ の中点 $M$ に一致しJJMO 2016 P4と同じ構図になります．
では，示していきましょう．(Second Fonteneの定理を認めれば)極めて容易に証明できます．

(定理3)

$E$ の垂足円は $C E$ を直径とする円であるから，定理2より $∠ B X F = 90^{\circ}$ が従う．同様に $∠ C X E = 90^{\circ}$ が従うから $∠ B X E = ∠ C X F$ である．

簡単ですね．また，この証明を踏襲すればSecond Fonteneの定理の次のような応用ができます．

orthotransversalへの応用

三角形 $A B C$ と点 $P$ について， $P$ を通り直線 $A P$ に垂直な直線と直線 $B C$ の交点を $T_{A}$ とし，同様に $T_{B} \in C A$ と $T_{C} \in A B$ を定める．このとき， $T_{A}, T_{B}, T_{C}$ は共線である．この直線を点 $P$ の三角形 $A B C$ におけるorthotransversalという．

共線の証明は省きます．
orthotransversalは近代の幾何学において最も重要な対象の一つであり，非常に多くの強い性質を持っています．
ということで，そのような性質の一つである以下の定理をSecond Fonteneの定理を用いて示してみましょう．

三角形 $A B C$ において，その九点円上に点 $P$ を取る．このとき， $P$ に依らず点 $P$ の三角形 $A B C$ におけるorthotransversalは三角形 $A B C$ の外心を通る．

三角形 $A B C$ の外心を $O$ ， $P$ のorthotransversalを $l$ とし， $l$ と直線 $B C, C A, A B$ の交点をそれぞれ $D, E, F$ とする．このとき明らかに $D, E, F$ での垂足円は点 $P$ を通る．一方，Second Fonteneの定理より直線 $O D$ と直線 $C A, A B$ の交点における垂足円は点 $P$ を通る．よって， $l$ とそのGriffiths点は一意に対応することから $O, D, E, F$ は共線である他ない．