【基礎】比例式の問題を解く～式と証明～「高校数学II」

比例式の問題を解く

次の問題を考える. 教科書や参考書等の解答でよく散見されるのは, $\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}$の各辺をそれぞれ$k$とおくやり方である. しかし, ここでは$k$とおかずに解くやり方を提案する.

$\frac{b+c}{a}\cdots \mathrm{①},\frac{c+a}{b}\cdots \mathrm{②},\frac{a+b}{c}\cdots \mathrm{③}$とする. $(a,b,c\ne 0)$
$$\mathrm{①}=\mathrm{②}=\mathrm{③}\iff \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\mathrm{①}=\mathrm{③}\\ \mathrm{②}=\mathrm{③}\end{array}\end{array}$$
$$\iff \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}(b+c)c=a(a+b)\cdots \ast \\ (c+a)c=b(a+b)\cdots \ast \ast \end{array}\end{array}(a,b,c\ne 0)$$
$\ast$と$\ast \ast$の両辺をそれぞれ足して,
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}(b+c)c=a(a+b)\cdots \ast \\ c(a+b+2c)=(a+b{)}^2\cdots \ast \ast \ast \end{array}\end{array}$$
$\ast \ast \ast$を$c$で割って, $a+b$を足すと,
$$\ast \ast \ast \iff 2(a+b+c)=\frac{(a+b{)}^2}{c}+(a+b)$$
$$=(a+b)(\frac{a+b}{c}+1)$$
$$=(a+b)\frac{a+b+c}{c}$$
$$\iff \frac{a+b}{c}=2(a+b+c\ne 0)$$
$a+b+c=0$のとき,
$$\frac{a+b}{c}=-1$$
よって,
$$(求める値)=\mathrm{①}\times \mathrm{②}\times \mathrm{③}=8,-1$$

以上のように, $k$とおかなくても解くことができた. 初見の場合は特に, 新しい文字$k$を用いようと思い至るには, 少なからずの発想力を必要とする.

逆に, $(与式)=\mathrm{①}\times \mathrm{②}\times \mathrm{③}$に着目し, 仮定から$\mathrm{①},\mathrm{②},\mathrm{③}$の値がわかることに気づけば, 上の連立方程式は自発的に立てられるはずだ. その上で, 正しい同値変形ができれば, 初見の場合だとしても発想力に頼らず答えにたどり着けるだろう.

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