【基礎】比例式の問題を解く～式と証明～「高校数学II」

比例式の問題を解く

次の問題を考える. 教科書や参考書等の解答でよく散見されるのは, $　\frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} = \frac{a + b}{c} $の各辺をそれぞれ$k$とおくやり方である. しかし, ここでは$k$とおかずに解くやり方を提案する.

$ \frac{b + c}{a} \cdots ①, \frac{c + a}{b} \cdots ②, \frac{a + b}{c} \cdots ③$とする. $(a, b, c \neq 0)$
$$①=②=③ \Leftrightarrow \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ①=③\\ ②=③ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$$ \Leftrightarrow \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (b + c)c = a(a + b) \cdots \ast \\ (c + a)c = b(a + b) \cdots \ast \ast \end{array} \right. \end{eqnarray} \space (a, b, c \neq 0)$$
$\ast$と$\ast \ast$の両辺をそれぞれ足して,
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (b + c)c = a(a + b) \cdots \ast\\ c(a + b + 2c) = (a + b)^2 \cdots \ast \ast \ast \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$\ast \ast \ast$を$c$で割って, $a + b$を足すと,
$$\ast \ast \ast \Leftrightarrow 2(a + b + c) = \frac{(a + b)^2}{c} + (a + b)$$
$$\qquad \qquad \qquad \qquad \quad = (a + b)(\frac{a + b}{c} + 1)$$
$$\qquad \qquad \qquad \qquad \quad = (a + b)\frac{a + b + c}{c} $$
$$ \Leftrightarrow \frac{a + b}{c} = 2 \qquad (a + b + c \neq 0)$$
$a + b + c = 0$のとき,
$$\frac{a + b}{c} = -1$$
よって,
$$(求める値) = ① \times ② \times ③ = 8, -1$$

以上のように, $k$とおかなくても解くことができた. 初見の場合は特に, 新しい文字$k$を用いようと思い至るには, 少なからずの発想力を必要とする.

逆に, $(与式) = ① \times ② \times ③ $に着目し, 仮定から$①, ②, ③$の値がわかることに気づけば, 上の連立方程式は自発的に立てられるはずだ. その上で, 正しい同値変形ができれば, 初見の場合だとしても発想力に頼らず答えにたどり着けるだろう.

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