複素平面で単位円周上にある複素数

［方針］
［１］実数解は存在しても$z=\pm$1に限ること
［２］虚数解は$\left| z \right|$=1をみたすこと
この２つを示す．
まず，$z=0$は方程式をみたさない．
$z^{n-1}+z=0$のとき，
$z^{n-2}=-1$ $\left| z^{n-2} \right|=1$$\left| z \right|$=1 成り立つ．

［１］について，$z$を実数として，
$$f(x)= \frac{x^n+1}{x^{n-1}+x} $$
を考える．
［101］$n$が偶数のとき，
$x>0$のとき，$f(-x)=-f(x)$
$x>0$のとき，$x^{n-1}+x>0$で
$x^n+1-(x^{n-1}+x)=(x-1)(x^{n-1}-1) \geqq 0$から，
$$f(x)= \frac{x^n+1}{x^{n-1}+x} \geqq 1 $$
（等号成立は$x=1$のとき）
同様に，$x<0$のとき，
$$f(x)= \frac{x^n+1}{x^{n-1}+x} \leqq -1 $$
（等号成立は$x=-1$のとき）
ここで，-1$\leqq$a$\leqq$1なので，$x=\pm$1に限る.
［102］$n$が奇数のとき，（$x=-1$は分母が0になるので除外しておく）
$x>0$のとき，$f(-x)<-f(x)$
上と同様に，$x>0$のとき，$x^{n-1}+x>0$で
$$f(x)= \frac{x^n+1}{x^{n-1}+x} \geqq 1 $$
（等号成立は$x=1$のとき）
$x<0$のとき，
$f(-x)<-1$
-1$\leqq$a$\leqq$1なので，$x=1$に限る.
以上で，実数解なら存在しても$x=\pm$1に限る.［１］は示された．

［２］最初の方程式が逆数方程式なので，解にもてばその逆数も解にもつ．
$$z^n+az^{n-1}+az+1=0$$
$$z^{-n}+az^{-(n-1)}+az^{-1}+1=0$$
２つの方程式の解はまったく一致する．
$$ \left({z^n+z^{-n}}\right)+a\left( z^{n-1}+z^{-{(n-1)}}\right)+a\left( {z+z^{-1}}\right)+2=0$$
ここで，$t=z+z^{-1}$とおくと，この方程式は$t$の$n$次方程式にかわる．
（証明は「数学的帰納法」による．）
実数を係数とするので，虚数解$t= \alpha $をもてば，$t= \bar{ \alpha } $も解になる．
このとき，$z$の解には，$z+z^{-1}=\alpha$をみたすものと，$z+z^{-1}= \bar{ \alpha } $もみたすものがある．
$$z^2-\alpha z+1=0$$
$z^2-\bar{ \alpha } z+1=0$（かきかえると）${\bar z }^2-\alpha\bar{z}+1=0 $

この２つは実数解をもたない．上の虚数解を$\beta， \gamma $とすると，
下の解は，$\bar{\beta}， \bar{\gamma} $となる．
$$\beta \cdot \gamma=\bar{\beta} \cdot \bar{\gamma}=1$$
$$\beta \cdot \bar{\beta}=\gamma \cdot \bar{\gamma}=1$$
したがって，虚数解$z$をもてば$\left| z \right|=1$．［２］も示された．
以上から，証明された．□□