n + 1個の点を通るn次以下の函数の一意性とLagrangeの補間公式

(一意性) $f,g$を$n$次以下の函数とし, $f(x_1)=g(x_1)=y_1,f(x_2)=g(x_2)=y_2,\dots ,f(x_{n+1})=g(x_{n+1})=y_{n+1}$が成り立つとする. $n$次以下の函数$h=f-g$は$h(x_1)=h(x_2)=\cdots =h(x_{n+1})=0$が成り立ち, したがって$n$次以下の多項式$h$は$n+1$次の多項式$(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_{n+1})$で割り切れるから, $h=0$, ゆえに$f=g$である.

(存在) $f$を定理の通りに定義したとする. $f_i$の定義より$f_i(x_i)\ne 0$である. 一意性より$i=1,2,\dots ,n+1$に対し$f(x_i)=y_i$が成り立てばよい. $f(x_i)=\sum _{i=1}^{n+1}(f_i(x)/f_i(x_i))y_i$で, $k\ne i$ならば$f_k(x_i)$は$(x_i-x_i)=0$が積の中にあるから$0$であり, $k=i$ならば$f_k(x_i)=f_i(x_i)$だから$f(x_i)=y_i$である.