ガウスの数論世界を行く 問3.1

ガウスの数論世界を行く 問3.1

記号は書籍にのっとって。

問3.1
p=11に対して原始根g=2を取り、ガウス周期$\left[ 1 \right]_2, \left[2\right]_2$を決定せよ。
また、$\left[ 1 \right]_5,\left[ 3 \right]_5,\left[ 4 \right]_5,\left[ 5 \right]_5,\left[ 9 \right]_5$が満たす５次方程式を求めよ。

まず$g=2$が$\mathbb{F}_{11}^{\times}$の生成元になることを確認する
$p-1 = 10 = 2*5$ だから $d | (p-1) $なる 興味深い$d$ は $2, 5$

d=2の場合

２次のガウス周期を求めていく。

以下は$\mathbb{F}_{11}^{\times}$内での計算
2のべき上を計算していくと
-$ 2^0 = 1,2^1 =2,2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16 = 5, 2^5 = 10 = -1,$
-$ 2^6 = 20 = 9, 2^7 = 18 = 7, 2^8 = 14 = 3, 2^9= 6, 2^{10} = 12 = 1 $

$H_2 = \mathbb{F}^{\times 2}_{11} = \left\{1, 2^2, 2^4, 2^6, 2^8 \right\} = \left\{ 1,4, 5, 9, 3 \right\} $ 、$2H_2 = \left\{ 2, 8, 10, 7, 6\right\}$となる
積公式から
\begin{eqnarray} \left[ 1 \right]_2 \cdot \left[ 2 \right]_2 &&= \left[ 1 +2*1 \right]_2 + \left[ 1 +2*4 \right]_2 + \left[ 1 +2*5 \right]_2 + \left[ 1 +2*9 \right]_2 + \left[ 1 +2*3 \right]_2 \\ && = \left[ 3 \right]_2 + \left[ 9 \right]_2 + \left[ 11 \right]_2 + \left[ 19 \right]_2 + \left[ 7 \right]_2 \\ && = \left[ 1 \right]_2 + \left[ 1 \right]_2 + \left[ 0 \right]_2 + \left[ 2 \right]_2 + \left[ 2 \right]_2 \\ && = 2 (\left[ 1 \right]_2 + \left[ 2 \right]_2 ) + \left[ 0 \right]_2 \end{eqnarray}

よって 2次の係数は3と分かる
したがって求める方程式は$x^2 + x + 3 = 0$
２次のガウス周期は解の公式より, $ (-1 \pm \sqrt{11}i)/2$

d=5の場合

$H_5 = \left\{1, 2^5 = 10 = -1 \right\}$

積公式からガウス周期を計算するために各剰余類も書いておく。

• $ 2H_5 = \left\{2, 2^6 = 9 = -2\right\}$
• $ 4H_5 = \left\{4, 2^7 = 7 = -4\right\}$
• $ 8H_5 = \left\{8 = -3 , 2^8 = 14 = 3 \right\}$
• $ 16H_5 = \left\{16 = 5 , 2^9 = 6 = -5 \right\}$

と剰余分解される
ガウス周期は$\left[ 1 \right]_5,\left[ 3 \right]_5,\left[ 4 \right]_5,\left[ 5 \right]_5,\left[ 9 \right]_5$の5つ

解と係数の関係を出すためにガウス周期の積を積公式からがんばって計算していく。
\begin{eqnarray} 1. && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 &=& \left[1 + 3*1 \right]_5 + \left[1 + 3*10 \right]_5 &=& \left[ 4 \right]_5 + \left[ 31 \right]_5 &=& \left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 \\ 2. && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 &=& \left[1 + 4*1 \right]_5 + \left[1 + 4*10 \right]_5 &=& \left[ 5 \right]_5 + \left[ 41 \right]_5 &=& \left[ 5 \right]_5 + \left[ 3\right]_5 \\ 3. && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 &=& \left[1 + 5*1 \right]_5 + \left[1 + 5*10 \right]_5 &=& \left[ 6 \right]_5 + \left[ 51 \right]_5 &=& \left[ 5 \right]_5 + \left[ 4\right]_5 \\ 4. && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& \left[1 + 9*1 \right]_5 + \left[1 + 9*10 \right]_5 &=& \left[ 10 \right]_5 + \left[ 91 \right]_5 &=& \left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 \\ 5. && \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 &=& \left[3 + 4*1 \right]_5 + \left[3 + 4*10 \right]_5 &=& \left[ 7 \right]_5 + \left[ 43 \right]_5 &=& \left[ 4 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 \\ 6. && \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 &=& \left[3 + 5*1 \right]_5 + \left[3 + 5*10 \right]_5 &=& \left[ 8 \right]_5 + \left[ 53 \right]_5 &=& \left[ 3 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 \\ 7. && \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& \left[3 + 9*1 \right]_5 + \left[3 + 9*10 \right]_5 &=& \left[ 12 \right]_5 + \left[ 93 \right]_5 &=& \left[ 1 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 \\ 8. && \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 &=& \left[4 + 5*1 \right]_5 + \left[4 + 5*10 \right]_5 &=& \left[ 9 \right]_5 + \left[ 54 \right]_5 &=& \left[ 9 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 \\ 9. && \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& \left[4 + 9*1 \right]_5 + \left[4 + 9*10 \right]_5 &=& \left[ 13 \right]_5 + \left[ 94 \right]_5 &=& \left[ 9 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 \\ 10. && \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& \left[5 + 9*1 \right]_5 + \left[5 + 9*10 \right]_5 &=& \left[ 14 \right]_5 + \left[ 95 \right]_5 &=& \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 \\ \end{eqnarray}

これらを全て足すと $4(\left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) = -4 $より4次の項の係数が$-4$と分かる

同じガウス周期の積
\begin{eqnarray} \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 1 \right]_5 &=& \left[1 + 1*1 \right]_5 + \left[1 + 1*10 \right]_5 &=& \left[ 2 \right]_5 + \left[ 11 \right]_5 &=& \left[ 9 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 \\ \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 &=& \left[3 + 3*1 \right]_5 + \left[3 + 3*10 \right]_5 &=& \left[ 6 \right]_5 + \left[ 33 \right]_5 &=& \left[ 5 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 \\ \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 &=& \left[4 + 4*1 \right]_5 + \left[4 + 4*10 \right]_5 &=& \left[ 8 \right]_5 + \left[ 44 \right]_5 &=& \left[ 3 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 \\ \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 &=& \left[5 + 5*1 \right]_5 + \left[5 + 5*10 \right]_5 &=& \left[ 10 \right]_5 + \left[ 55 \right]_5 &=& \left[ 1 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 \\ \left[ 9 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& \left[9 + 9*1 \right]_5 + \left[9 + 9*10 \right]_5 &=& \left[ 18 \right]_5 + \left[ 99 \right]_5 &=& \left[ 4 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 \\ \end{eqnarray}

続いて３つの積

\begin{eqnarray} 1 && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 &=& ( \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 ) \cdot \left[ 4 \right]_5 &=&( \left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) \cdot \left[ 4 \right]_5 &=&( \left[ 3 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 ) + ( \left[ 9 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5) \\ 2 &&\left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 &=& ( \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 ) \cdot \left[ 5 \right]_5 &=&( \left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) \cdot \left[ 5 \right]_5 &=&( \left[ 9 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 ) + ( \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5) \\ 3 && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& ( \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 9 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 ) + ( \left[ 4 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) \\ 4 && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 &=& ( \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 ) \cdot \left[ 5 \right]_5 &=&( \left[ 5 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 ) \cdot \left[ 5 \right]_5 &=&( \left[ 1 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 ) + ( \left[ 3 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5) \\ 5 && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& ( \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 5 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 ) + ( \left[ 1 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5) \\ 6 && \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& ( \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 5 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 ) + ( \left[ 9 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5) \\ 7 && \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 &=& ( \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 ) \cdot \left[ 5 \right]_5 &=&( \left[ 4 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 ) \cdot \left[ 5 \right]_5 &=&( \left[ 9 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 ) + ( \left[ 5 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5) \\ 8 && \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& ( \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 4 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 9 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 ) + ( \left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) \\ 9 && \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& ( \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 3 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 1 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 ) + ( \left[ 4 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) \\ 10 && \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &=& ( \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 9 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 ) \cdot \left[ 9 \right]_5 &=&( \left[ 4 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 ) + ( \left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) \\ \end{eqnarray}

これらをすべて足すと$7(\left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) + 5 \left[ 0 \right]_5$から3次の項の係数は$-3$ と分かる

４次の項の係数

\begin{eqnarray} 1. & \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 &= \left[ 1 \right]_5 \cdot (\left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5) \\ & &= \left[ 1 \right]_5 \cdot (\left[ 9 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5) \\ & &= (\left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) + (\left[ 9 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) + (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5) + (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) \\ 2. & \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &= \left[ 1 \right]_5 \cdot (\left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5) \\ & &= \left[ 1 \right]_5 \cdot (\left[ 9 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) \\ & &= (\left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) + (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5) + (\left[ 9 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) + (\left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5) \\ 3. & \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &= \left[ 1 \right]_5 \cdot (\left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5) \\ & &= \left[ 1 \right]_5 \cdot (\left[ 1 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) \\ & &= (\left[ 9 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) + (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5) + (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) + (\left[ 1 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5) \\ 4. & \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &= \left[ 1 \right]_5 \cdot (\left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5) \\ & &= \left[ 1 \right]_5 \cdot (\left[ 4 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) \\ & &= (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) + (\left[ 1 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5) + (\left[ 9 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) + (\left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5) \\ 5. & \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &= \left[ 3 \right]_5 \cdot (\left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5) \\ & &= \left[ 3 \right]_5 \cdot (\left[ 4 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) \\ & &= (\left[ 4 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5) + (\left[ 3 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) + (\left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5) + (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) \\ \end{eqnarray}

上記で使った積の計算
\begin{eqnarray} \left[ 1 \right]_5 \cdot \left[ 0 \right]_5 &=& \left[1 + 0*1 \right]_5 + \left[1 + 0*10 \right]_5 &=& \left[ 1 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 \\ \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 0 \right]_5 &=& \left[3 + 0*1 \right]_5 + \left[3 + 0*10 \right]_5 &=& \left[ 3 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 \\ \end{eqnarray}

これらをすべて足すと$7(\left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) + 5 \left[ 0 \right]_5$から4次の項の係数は$3$ と分かる

5次の項の係数

\begin{eqnarray} 5. & \left[ 1 \right] \cdot \left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5 &= \left[ 1 \right] \cdot (\left[ 3 \right]_5 \cdot \left[ 4 \right]_5 \cdot \left[ 5 \right]_5 \cdot \left[ 9 \right]_5) \\ & &= \left[ 1 \right] \cdot (\left[ 4 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) \\ & &= \left[ 1 \right] \cdot (\left[ 0 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5 + 2 \left[ 3 \right]_5 + 2 \left[ 4 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) \\ & &= (\left[ 1 \right]_5 + \left[ 1 \right]_5) + (\left[ 9 \right]_5 + \left[ 0 \right]_5) + 2 (\left[ 4 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5) \\ & & + 2 (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) + (\left[ 5 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5) + (\left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5) \end{eqnarray}

これらをすべて足すと$3(\left[ 1 \right]_5 + \left[ 3 \right]_5 + \left[ 4 \right]_5 + \left[ 5 \right]_5 + \left[ 9 \right]_5 ) + \left[ 0 \right]_5$から5次の項の係数は$1$ と分かる

よって求める方程式は$x^5 + x^4 - 4 x^3 -3 x^2 +3 x^2 + 1 = 0 $