三項間漸化式の特性方程式が虚数解だったら？

三項間漸化式の特性方程式が虚数解だったとき、一般項がどう表されるか考えていきましょう。
もちろん、高校数学範囲内の考察です。

いつも通りやってみよう。

特性方程式が虚数解をもつ漸化式を一つ挙げてみます。
$$ a_1=a_2=1 \,\, , \,\,a_{n+2}-2a_{n+1}+2a_n=0 $$
とりあえずいつものノリで解いてみましょうか、
特性方程式は
$t^2-2t+2=0$これを解くと$t=1\pm i$

もとの漸化式を変形します。

$$ \left\{ \begin{aligned} a_{n+2}-(1-i)a_{n+1} &=(1+i)\bigl(a_{n+1}-(1-i)a_n\bigr) &&\cdots①\\ a_{n+2}-(1+i)a_{n+1} &=(1-i)\bigl(a_{n+1}-(1+i)a_n\bigr) &&\cdots② \end{aligned} \right. $$

①について
$b_{n}=\bigl(a_{n+1}-(1-i)a_n\bigr)$　と置けば$b_n$は
初項が $i$、公比が $1+i$ の等比数列なので
$$b_n=i(1+i)^{n-1} $$

②について、 $c_n=\bigl(a_{n+1}-(1+i)a_n\bigr)$ と置けば
$c_n$ は 初項が $-i$、公比が $1-i$ の等比数列なので $$ c_n=-i(1-i)^{n-1} $$

2つの数列の差をとります
$b_n -c_n = 2ia_n=i((1+i)^{n-1}+(1-i)^{n-1})$

$$ \Rightarrow a_n = \frac{(1+i)^{n-1}+(1-i)^{n-1}}{2} $$

一般項が求まりました。ですが、まだここから虚数を使わぬ形に変形できます
今回ちょうど$(1+i)^{n-1}$と$(1-i)^{n-1}$が複素共役の関係にあるので
その和は実数となり、値は実部の2倍です。それを2でわるんですから
$a_n=\Re{(1+i)^{n-1}}$
こうなります。極形式に変えてあげればすぐに実部は求まります。
$$ \begin{aligned} a_n &=\Re((1+i)^{n-1})\\[8pt] &=\Re\left(\sqrt{2}^{n-1}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^{n-1}\right)\\[8pt] &=\sqrt{2}^{n-1}\Re\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{4}+i\sin\frac{(n-1)\pi}{4}\right)\\[8pt] &=\sqrt{2}^{n-1}\cos\left(\frac{n\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\\[8pt] &=\sqrt{2}^{n-1}\left(\cos\frac{n\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{n\pi}{4}\sin\frac{\pi}{4}\right)\\[8pt] &=\sqrt{2}^{n-2}\left(\cos\frac{n\pi}{4}+\sin\frac{n\pi}{4}\right) \end{aligned} $$
はいよかったです。ちゃんともとめられました。

まとめ

いまのは具体例でしたが、特性方程式が虚数解で初期条件が実数の
三項間漸化式ならなんでも、三角関数を用いて一般項を表すことが出来るとわかっています。
ちょっとしたことですが、記事にできてよかったです。最後に今回の漸化式のグラフを
貼っておきます。
グラフ
赤点は今回の数列、青いグラフは今もとめた一般項の関数です。
うん。ちゃんと滑らかに結べていてとても良いです。
以上です、読んでくれた方に感謝します。