OMC258(D)のユーザー解説かと思ったら...

OMC258(D)のユーザー解説かと思ったら...

まえがき

先日行われたOMC258(D)にて、本解説とは違った解き方をしたのでユーザー解説を書きたかったのですが、レートが足りないのでここで供養します。

問題

$AB< AC$ なる鋭角三角形$ABC$において,$A$から辺$BC$に下ろした垂線の足を$D$とします．また，線分$DC$上に点$E$をとり,$B$から線分 $AE$に下ろした垂線の足を$F$とすると，直線$CF$は辺$AB$の中点を通りました．
$$BD=CE,　DF=24,　AF−EF=42$$が成り立つとき，$\dfrac{AB}{BC}$の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a+b$を解答してください．

考えてたこと

・$AB$の中点を$M$とすれば、$MA=MF$だなあ
・角度追跡で三角形$DEF$の外接円が$CF$に接するね
・$AF-FE=42$を使うために、$F$に関して$E$と対称な点を取ってみたがうまくいかない
→押してダメなら引いてみよう！！！

解答

$AB$の中点を$M$とする。$∠AFB=90°$に注意すれば、
$$∠FDE=∠BAF=∠MFA=∠CFE$$
より、接弦定理の逆から、$CF$は三角形$DEF$の外接円に接するので、$△CFE∽△CDF$

さて、$F$について$A$と対称な点を$A'$とすると、$BA=BA'$であり、さらに$EA'=42$である。

また、中点連結定理より$CM//BA'$なので、$△CFE∽△BA'E$であり、これより$△CDF∽△BA'E$であり、相似比は$4:7$である。

したがって、$CF=4k$とおくと、$BE=CD=7k$。方べきの定理から$CE=\dfrac{16}{7}k$なので、$BC=\dfrac{65}{7}k$である。

ここで、$BA=BA'=a$とおくと、$CD=\dfrac{4}{7}a$なので、これより
$$ 7:\frac{65}{7}=\frac{4}{7}a:BC$$
より、$BC=\dfrac{260}{343}a$である。

よって、
$$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a}{\frac{260}{343}a}=\dfrac{343}{260}$$
あれ？分母分子逆？？

あとがき

至急、分母分子が逆な理由を教えてください!!!!!!