スキーム論クイズ（２）

$D(f)$（$f\in R$）は$\text{Spec}(R)$の開基になる？ならない？

$\text{Spec}(R)$の構造層$\mathcal{O}_{\text{Spec}(R)}$の性質として正しいのはどっち？
(1) 開集合$D(f)$に対して，環$R/(f)$（$R$の剰余環）を対応させる．
(2) 開集合$D(f)$に対して，環$R_f$（$R$の局所化）を対応させる．

$\text{Spec}(R)$の構造層$\mathcal{O}_{\text{Spec}(R)}$のストークの性質として正しいのはどっち？
(1) 点$\mathfrak{p}$におけるストークは，環$R/\mathfrak{p}$（$R$の剰余環）である．
(2) 点$\mathfrak{p}$におけるストークは，環$R_\mathfrak{p}$（$R$の局所化）である．

$(X,\mathcal{O})$を環付空間とする．このとき，$\mathcal{O}$-加群層$\mathcal{F}$が準連接であることの定義として正しいものはどっち？
(1) 任意の$x\in X$について，$x$のある開近傍$U$上に次のような完全系列がある：$(\mathcal{O}|_U)^{(I)}\rightarrow\mathcal{F}|_U\rightarrow 0$（ここで添え字集合$I$は必ずしも有限でない）
(2) 任意の$x\in X$について，$x$のある開近傍$U$上に次のような完全系列がある：$(\mathcal{O}|_U)^{(J)}\rightarrow(\mathcal{O}|_U)^{(I)}\rightarrow\mathcal{F}|_U\rightarrow 0$（ここで添え字集合$I,J$は必ずしも有限でない）

$(X,\mathcal{O})$を環付空間とする．このとき，$\mathcal{O}$-加群層$\mathcal{F}$が有限生成であることの定義として正しいものはどっち？
(1) 任意の$x\in X$について，$x$のある開近傍$U$上に次のような完全系列がある：$(\mathcal{O}|_U)^n\rightarrow\mathcal{F}|_U\rightarrow 0$（ここで$n$は正の整数である）
(2) 任意の$x\in X$について，$x$のある開近傍$U$上に次のような完全系列がある：$(\mathcal{O}|_U)^m\rightarrow(\mathcal{O}|_U)^n\rightarrow\mathcal{F}|_U\rightarrow 0$（ここで$n,m$は正の整数である）

スキーム$(X,\mathcal{O}_X)$において，構造層$\mathcal{O}_X$は準連接である．○か×か．

スキーム$(X,\mathcal{O}_X)$において，構造層$\mathcal{O}_X$は有限生成である．○か×か．

$(X,\mathcal{O})$を環付空間とする．このとき，有限生成$\mathcal{O}$-加群層$\mathcal{F}$が連接であることの定義として正しいものはどっち？
(1) $X$の任意の開集合$U$，任意の正整数$n$，および任意の$\mathcal{O}|_U$加群層の準同型$\varphi:(\mathcal{O}|_U)^n\rightarrow\mathcal{F}|_U$について，$\text{Ker}\,\varphi$は$\mathcal{O}|_U$-加群層として有限生成．
(2) $X$の任意の開集合$U$，任意の正整数$n$，および任意の$\mathcal{O}|_U$加群層の準同型$\varphi:\mathcal{F}|_U\rightarrow(\mathcal{O}|_U)^n$について，$\text{Im}\,\varphi$は$\mathcal{O}|_U$-加群層として有限生成．

有限生成$\mathcal{O}$-加群層が，準連接であることと，連接であることは実は同値である．○か×か．

階数が1の局所自由層は何と呼ばれている？
(1) 摩天楼層
(2) 可逆層
(3) ねじり層