現代数学解説

スキーム論クイズ（２）

スキーム

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基本開集合

$f \in R$ に対して $Spec (R)$ の開集合 $D (f) = {p \in Spec (R) | f \notin p}$ を定義しておく．

$D (f)$ （ $f \in R$ ）は $Spec (R)$ の開基になる？ならない？

問題1の答え

なる

$Spec (R)$ の構造層 $O_{Spec (R)}$ の性質として正しいのはどっち？
(1) 開集合 $D (f)$ に対して，環 $R / (f)$ （ $R$ の剰余環）を対応させる．
(2) 開集合 $D (f)$ に対して，環 $R_{f}$ （ $R$ の局所化）を対応させる．

問題2の答え

(2)

$Spec (R)$ の構造層 $O_{Spec (R)}$ のストークの性質として正しいのはどっち？
(1) 点 $p$ におけるストークは，環 $R / p$ （ $R$ の剰余環）である．
(2) 点 $p$ におけるストークは，環 $R_{p}$ （ $R$ の局所化）である．

問題3の答え

(2)

スキーム

局所環付空間 $(X, O_{X})$ が次の条件を満たすとき，スキームと呼ばれる： $X$ の各点 $x$ について， $x$ の開近傍 $U$ と可換環 $R_{x}$ が存在して， $(U, O_{X} |_{U})$ は $(Spec (R_{x}), O_{Spec (R_{x})})$ と局所環付空間として同型である．

$(X, O)$ を環付空間とする．このとき， $O$ -加群層 $F$ が準連接であることの定義として正しいものはどっち？
(1) 任意の $x \in X$ について， $x$ のある開近傍 $U$ 上に次のような完全系列がある： $(O |_{U})^{(I)} \to F |_{U} \to 0$ （ここで添え字集合 $I$ は必ずしも有限でない）
(2) 任意の $x \in X$ について， $x$ のある開近傍 $U$ 上に次のような完全系列がある： $(O |_{U})^{(J)} \to (O |_{U})^{(I)} \to F |_{U} \to 0$ （ここで添え字集合 $I, J$ は必ずしも有限でない）

問題4の答え

(2)

$(X, O)$ を環付空間とする．このとき， $O$ -加群層 $F$ が有限生成であることの定義として正しいものはどっち？
(1) 任意の $x \in X$ について， $x$ のある開近傍 $U$ 上に次のような完全系列がある： $(O |_{U})^{n} \to F |_{U} \to 0$ （ここで $n$ は正の整数である）
(2) 任意の $x \in X$ について， $x$ のある開近傍 $U$ 上に次のような完全系列がある： $(O |_{U})^{m} \to (O |_{U})^{n} \to F |_{U} \to 0$ （ここで $n, m$ は正の整数である）

問題5の答え

(1)

スキーム $(X, O_{X})$ において，構造層 $O_{X}$ は準連接である．○か×か．

問題6の答え

○

スキーム $(X, O_{X})$ において，構造層 $O_{X}$ は有限生成である．○か×か．

問題7の答え

○

$(X, O)$ を環付空間とする．このとき，有限生成 $O$ -加群層 $F$ が連接であることの定義として正しいものはどっち？
(1) $X$ の任意の開集合 $U$ ，任意の正整数 $n$ ，および任意の $O |_{U}$ 加群層の準同型 $φ : (O |_{U})^{n} \to F |_{U}$ について， $Ker φ$ は $O |_{U}$ -加群層として有限生成．
(2) $X$ の任意の開集合 $U$ ，任意の正整数 $n$ ，および任意の $O |_{U}$ 加群層の準同型 $φ : F |_{U} \to (O |_{U})^{n}$ について， $Im φ$ は $O |_{U}$ -加群層として有限生成．