作問②

$a \ , \ b$を$a \neq b$である正整数とし、このとき以下のように数列${A_n}$を定める。

$ \quad A_1 \ = \ a \quad A_2 \ = \ b \quad \ A_{n+2} \ = \ \left| A_{n} \ - \ A_{n+1} \right| $

このとき以下を示しなさい。

$(\mathrm{I})$$a \ , \ b$は条件を満たすならばどんな値をとったとしても${A_n}$の項に$0$が現れる。

$(\mathrm{II})$$\gcd (a , b)=k$ならば$A_m=0$であるとき$A_{m-1}=A_{m-2}=k$である。