2024福島県高校入試の数学

が、正直大問1, 2は解答を見てくださいとしか言いようがないので飛ばします

大問3

(1)①

サイコロの目の出方は $6^{2} = 36$ 通り
各点で一緒になることがちょうど一回ずつあるから
$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

②

Aが頂角の二等辺三角形になればいい……だけではありません
Aの両脇の2点、こいつらも頂角になり得ます(~~正直解答見るまで気づかなかった~~)
それぞれ2通りずつ目の出方が存在するので
$\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

(2)①

n番目のタイルの総数は $n^{2}$ で表せる
したがって、 $23^{2} = 529$

②

n番目のタイルの総数とn-1番目のタイルの総数の差、すなわち、新たに敷くタイルの枚数を考えると、
$n^{2} - (n - 1)^{2} = 2 n - 1$
nは自然数であるから2n-1は奇数であり、したがって、新たに必要なタイルの枚数は奇数である

大問4

水を移す前の容器A, Bの水量をそれぞれx, y(mL)とすると、次の2つの式が成り立つ
$x + y = 820$
$\frac{1}{4} x + \frac{1}{3} y = \frac{3}{4} x - 60$
この連立方程式を解くと
$x = 400 (m L), y = 420 (m L)$

大問5

△AIEと△FIBの合同を示す方針でやります

$回転してできたから$
$B C = E C, A C = F C$
$また、 A E = A C - E C, F B = F C - B C$
$以上より、 A E = F B \dots ①$
$∠ A E I = ∠ F B I = 90 ° \dots ②$
$∠ E A I = ∠ B F I = 45 ° \dots ③$
$①, ②, ③ より、一組の辺とその両端の角が$
$それぞれ等しいから$
$△ A I E \equiv △ F I B$
$よって、 E I = B I$

大問6

(1)

$A (- 2, 1)$ より、 $1$

(2)

$B (6, 9)$ であるから、傾きは
$\frac{6 - (- 2)}{9 - 1} = 1$
したがって、 $l : y = x + k$ とおくと、 $(- 2, 1)$ を通るから
$1 = - 2 + k$
$k = 3$
よって、 $y = x + 3$

(3)

去年の共通テストみたいな問答が無くなりましたね、何だったんだあれ
$P (t, \frac{1}{4} t^{2}), Q (t, t + 3), R (t, 0)$
$Q P = t + 3 - \frac{1}{4} t^{2}, P R = \frac{1}{4} t^{2}$
$Q P = P R より$
$t + 3 - \frac{1}{4} t^{2} = \frac{1}{4} t^{2}$
$t^{2} - 2 t - 6 = 0$
$t = 1 \pm \sqrt{7}$
$0 < t < 6 より、 t = 1 + \sqrt{7}$

大問7

(1)

三平方の定理により
$E F^{2} = 10^{2} - 8^{2}$
$E F = 6$

(2)

$P R : A C = 2 : 3$
$P R : 8 = 2 : 3$
$P R = \frac{16}{3}$
$また、 P Q = A D = 3 \sqrt{2}$
$P Q ⊥ B C であるから、求める面積は$
$\frac{16}{3} \times 3 \sqrt{2} = 16 \sqrt{2}$