自作漸化式

1661

数列$\{a_n\}$は
$\displaystyle a_1 = 2, ~a_{n+1} = 1 + \frac{n(n+2)}{a_n}$
を満たしている．数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

自作の漸化式ですが、現状の解法は複雑な変形をするのでもっと簡単な解法が思いついたら是非教えてください。

解答を表示

まず，漸化式の右辺，第一項目の$1$を$(n+2)-(n+1)$に分解して，第二項目の分子$n(n+2)=n^2 + 2n$を平方完成する．
\begin{align*} a_{n+1} &= (n+2)-(n+1)+\frac{(n+1)^2-1}{a_n}. \end{align*}
通分して，
\begin{align*} a_{n+1}-(n+2) &= -\frac{(n+1) a_n -(n+1)^2+1}{a_n} \\ &= -\frac{(n+1) \left\{a_n -(n+1)\right\}+1}{\left\{a_n-(n+1)\right\}+(n+1)}. \end{align*}
$b_n = a_n-(n+1)$ とおくと，
\begin{align*} b_{n+1} &= -\frac{(n+1) b_n +1}{b_n+(n+1)} \\ &= -\frac{b_n+\frac{1}{n+1}}{1+b_n \cdot \frac{1}{n+1}}. \end{align*}
$b_n = \tanh \theta_n$とおくと，$\tanh$の加法定理から，
\begin{align*} \tanh \theta_{n+1} &= -\frac{\tanh \theta_n + \frac{1}{n+1}}{1+ \tanh \theta_n \cdot \frac{1}{n+1}}\\ &=\tanh \left\{ -\theta_n - \mathrm{artanh} \left( \frac{1}{n+1} \right) \right\}. \\ \end{align*}
したがって，
\begin{align*} \theta_{n+1} &= -\theta_n - \mathrm{artanh}\left( \frac{1}{n+1} \right). \end{align*}
両辺$(-1)^{n+1}$をかけて，
\begin{align*} (-1)^{n+1} \theta_{n+1} &= (-1)^n \theta_n + (-1)^n \mathrm{artanh} \left( \frac{1}{n+1} \right). \end{align*}
$(-1) \cdot \theta_1 = \mathrm{artanh} \left(a_1 - 2 \right)= 0$より，$n \geq 2$のとき，
\begin{align*} (-1)^n \theta_n &= \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k \mathrm{artanh}\left( \frac{1}{k+1} \right). \end{align*}

ここで，
\begin{align*} &\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k \mathrm{artanh}\left( \frac{1}{k+1} \right) \\ &=\sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \mathrm{artanh}(1/k) \\ &= \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \mathrm{artanh} \left( \frac{(2k+1)+(2k-1)}{1+(2k+1)(2k-1)} \right) \\ &=\sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \mathrm{artanh} \left( \frac{\frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k+1}}{1+\frac{1}{2k-1} \cdot \frac{1}{2k+1}} \right)\\ &=\sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \left\{\mathrm{artanh} \left(\frac{1}{2k-1} \right)+\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2k+1} \right) \right\} \\ &=-\left\{\mathrm{artanh}(1/3)+\mathrm{artanh}(1/5)\right\}+\cdots+(-1)^{n+1} \left\{\mathrm{artanh} \left(\frac{1}{2n-1} \right)+\mathrm{artanh} \left(\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\\ &=(-1)^{n+1}\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)-\mathrm{artanh}(1/3) \\ &=(-1)^{n+1}\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)-\log \sqrt{2}. \end{align*}
したがって，
\begin{align*} (-1)^n \theta_n &= (-1)^{n+1}\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)-\log \sqrt{2}. \end{align*}
両辺$(-1)^n$をかけて，
\begin{align*} \theta_n &=-\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)+(-1)^{n+1}\log \sqrt{2}. \end{align*}
よって，
\begin{align*} b_n &= \tanh \left\{ -\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)+(-1)^{n+1}\log \sqrt{2} \right\}\\ &= \frac{(-1)^{n+1}(1/3)-\frac{1}{2n+1} }{1-(-1)^{n+1} (1/3)\frac{1}{2n+1}}\\ &=\frac{(2n+1)\cdot(-1)^{n+1}-3 }{3(2n+1)-(-1)^{n+1}}. \end{align*}
以上より，$a_1 = 2$から，
\begin{align*} a_n &= n+1 + \frac{(2n+1)\cdot(-1)^{n+1}-3}{6n+3+(-1)^n}. \end{align*}
※2023/8/7 追記: 同様の解法で解くことが出来る以下の類題を作成しましたのでもしよければチャレンジしてみてください！

類題
数列$\{a_n\}$は
$\displaystyle a_1 = 1, ~a_{n+1} = 2n+1 + \frac{n^4+4}{a_n}$
を満たしている．数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

投稿日：2023年7月4日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

Mathお

5725

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

Mathお

自作漸化式