自作漸化式

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数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 1 + \frac{n (n + 2)}{a_{n}}$
を満たしている．数列 ${a_{n}}$ の一般項を $n$ を用いて表せ．

自作の漸化式ですが、現状の解法は複雑な変形をするのでもっと簡単な解法が思いついたら是非教えてください。

解答を表示

まず，漸化式の右辺，第一項目の

1

を

(n + 2) - (n + 1)

に分解して，第二項目の分子

n (n + 2) = n^{2} + 2 n

を平方完成する．

\begin{aligned} a_{n + 1} & = (n + 2) - (n + 1) + \frac{(n + 1)^{2} - 1}{a_{n}} . \end{aligned}

通分して，

\begin{aligned} a_{n + 1} - (n + 2) & = - \frac{(n + 1) a_{n} - (n + 1)^{2} + 1}{a_{n}} \\ = - \frac{(n + 1) {a_{n} - (n + 1)} + 1}{{a_{n} - (n + 1)} + (n + 1)} . \end{aligned}

b_{n} = a_{n} - (n + 1)

とおくと，

\begin{aligned} b_{n + 1} & = - \frac{(n + 1) b_{n} + 1}{b_{n} + (n + 1)} \\ = - \frac{b_{n} + \frac{1}{n + 1}}{1 + b_{n} \cdot \frac{1}{n + 1}} . \end{aligned}

b_{n} = \tanh θ_{n}

とおくと，

\tanh

の加法定理から，

\begin{aligned} \tanh θ_{n + 1} & = - \frac{\tanh θ_{n} + \frac{1}{n + 1}}{1 + \tanh θ_{n} \cdot \frac{1}{n + 1}} \\ = \tanh {- θ_{n} - artanh (\frac{1}{n + 1})} . \end{aligned}

したがって，

\begin{aligned} θ_{n + 1} & = - θ_{n} - artanh (\frac{1}{n + 1}) . \end{aligned}

両辺

(- 1)^{n + 1}

をかけて，

\begin{aligned} (- 1)^{n + 1} θ_{n + 1} & = (- 1)^{n} θ_{n} + (- 1)^{n} artanh (\frac{1}{n + 1}) . \end{aligned}

(- 1) \cdot θ_{1} = artanh (a_{1} - 2) = 0

より，

n \geq 2

のとき，

\begin{aligned} (- 1)^{n} θ_{n} & = \sum_{k = 1}^{n - 1} (- 1)^{k} artanh (\frac{1}{k + 1}) . \end{aligned}

ここで，

\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n - 1} (- 1)^{k} artanh (\frac{1}{k + 1}) \\ = \sum_{k = 2}^{n} (- 1)^{k + 1} artanh (1 / k) \\ = \sum_{k = 2}^{n} (- 1)^{k + 1} artanh (\frac{(2 k + 1) + (2 k - 1)}{1 + (2 k + 1) (2 k - 1)}) \\ = \sum_{k = 2}^{n} (- 1)^{k + 1} artanh (\frac{\frac{1}{2 k - 1} + \frac{1}{2 k + 1}}{1 + \frac{1}{2 k - 1} \cdot \frac{1}{2 k + 1}}) \\ = \sum_{k = 2}^{n} (- 1)^{k + 1} {artanh (\frac{1}{2 k - 1}) + artanh (\frac{1}{2 k + 1})} \\ = - {artanh (1 / 3) + artanh (1 / 5)} + \dots + (- 1)^{n + 1} {artanh (\frac{1}{2 n - 1}) + artanh (\frac{1}{2 n + 1})} \\ = (- 1)^{n + 1} artanh (\frac{1}{2 n + 1}) - artanh (1 / 3) \\ = (- 1)^{n + 1} artanh (\frac{1}{2 n + 1}) - \log \sqrt{2} . \end{aligned}

したがって，

\begin{aligned} (- 1)^{n} θ_{n} & = (- 1)^{n + 1} artanh (\frac{1}{2 n + 1}) - \log \sqrt{2} . \end{aligned}

両辺

(- 1)^{n}

をかけて，

\begin{aligned} θ_{n} & = - artanh (\frac{1}{2 n + 1}) + (- 1)^{n + 1} \log \sqrt{2} . \end{aligned}

よって，

\begin{aligned} b_{n} & = \tanh {- artanh (\frac{1}{2 n + 1}) + (- 1)^{n + 1} \log \sqrt{2}} \\ = \frac{(- 1)^{n + 1} (1 / 3) - \frac{1}{2 n + 1}}{1 - (- 1)^{n + 1} (1 / 3) \frac{1}{2 n + 1}} \\ = \frac{(2 n + 1) \cdot (- 1)^{n + 1} - 3}{3 (2 n + 1) - (- 1)^{n + 1}} . \end{aligned}

以上より，

a_{1} = 2

から，

\begin{aligned} a_{n} & = n + 1 + \frac{(2 n + 1) \cdot (- 1)^{n + 1} - 3}{6 n + 3 + (- 1)^{n}} . \end{aligned}

※2023/8/7 追記: 同様の解法で解くことが出来る以下の類題を作成しましたのでもしよければチャレンジしてみてください！

類題
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 n + 1 + \frac{n^{4} + 4}{a_{n}}$
を満たしている．数列 ${a_{n}}$ の一般項を $n$ を用いて表せ．

投稿日：2023年7月4日

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