自作漸化式

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数列$\{a_n\}$は
$\displaystyle a_1 = 2, ~a_{n+1} = 1 + \frac{n(n+2)}{a_n}$
を満たしている．数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

自作の漸化式ですが、現状の解法は複雑な変形をするのでもっと簡単な解法が思いついたら是非教えてください。

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まず，漸化式の右辺，第一項目の$1$を$(n+2)-(n+1)$に分解して，第二項目の分子$n(n+2)=n^2 + 2n$を平方完成する．
\begin{align*} a_{n+1} &= (n+2)-(n+1)+\frac{(n+1)^2-1}{a_n}. \end{align*}
通分して，
\begin{align*} a_{n+1}-(n+2) &= -\frac{(n+1) a_n -(n+1)^2+1}{a_n} \\ &= -\frac{(n+1) \left\{a_n -(n+1)\right\}+1}{\left\{a_n-(n+1)\right\}+(n+1)}. \end{align*}
$b_n = a_n-(n+1)$ とおくと，
\begin{align*} b_{n+1} &= -\frac{(n+1) b_n +1}{b_n+(n+1)} \\ &= -\frac{b_n+\frac{1}{n+1}}{1+b_n \cdot \frac{1}{n+1}}. \end{align*}
$b_n = \tanh \theta_n$とおくと，$\tanh$の加法定理から，
\begin{align*} \tanh \theta_{n+1} &= -\frac{\tanh \theta_n + \frac{1}{n+1}}{1+ \tanh \theta_n \cdot \frac{1}{n+1}}\\ &=\tanh \left\{ -\theta_n - \mathrm{artanh} \left( \frac{1}{n+1} \right) \right\}. \\ \end{align*}
したがって，
\begin{align*} \theta_{n+1} &= -\theta_n - \mathrm{artanh}\left( \frac{1}{n+1} \right). \end{align*}
両辺$(-1)^{n+1}$をかけて，
\begin{align*} (-1)^{n+1} \theta_{n+1} &= (-1)^n \theta_n + (-1)^n \mathrm{artanh} \left( \frac{1}{n+1} \right). \end{align*}
$(-1) \cdot \theta_1 = \mathrm{artanh} \left(a_1 - 2 \right)= 0$より，$n \geq 2$のとき，
\begin{align*} (-1)^n \theta_n &= \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k \mathrm{artanh}\left( \frac{1}{k+1} \right). \end{align*}

ここで，
\begin{align*} &\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k \mathrm{artanh}\left( \frac{1}{k+1} \right) \\ &=\sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \mathrm{artanh}(1/k) \\ &= \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \mathrm{artanh} \left( \frac{(2k+1)+(2k-1)}{1+(2k+1)(2k-1)} \right) \\ &=\sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \mathrm{artanh} \left( \frac{\frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k+1}}{1+\frac{1}{2k-1} \cdot \frac{1}{2k+1}} \right)\\ &=\sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \left\{\mathrm{artanh} \left(\frac{1}{2k-1} \right)+\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2k+1} \right) \right\} \\ &=-\left\{\mathrm{artanh}(1/3)+\mathrm{artanh}(1/5)\right\}+\cdots+(-1)^{n+1} \left\{\mathrm{artanh} \left(\frac{1}{2n-1} \right)+\mathrm{artanh} \left(\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\\ &=(-1)^{n+1}\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)-\mathrm{artanh}(1/3) \\ &=(-1)^{n+1}\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)-\log \sqrt{2}. \end{align*}
したがって，
\begin{align*} (-1)^n \theta_n &= (-1)^{n+1}\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)-\log \sqrt{2}. \end{align*}
両辺$(-1)^n$をかけて，
\begin{align*} \theta_n &=-\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)+(-1)^{n+1}\log \sqrt{2}. \end{align*}
よって，
\begin{align*} b_n &= \tanh \left\{ -\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2n+1}\right)+(-1)^{n+1}\log \sqrt{2} \right\}\\ &= \frac{(-1)^{n+1}(1/3)-\frac{1}{2n+1} }{1-(-1)^{n+1} (1/3)\frac{1}{2n+1}}\\ &=\frac{(2n+1)\cdot(-1)^{n+1}-3 }{3(2n+1)-(-1)^{n+1}}. \end{align*}
以上より，$a_1 = 2$から，
\begin{align*} a_n &= n+1 + \frac{(2n+1)\cdot(-1)^{n+1}-3}{6n+3+(-1)^n}. \end{align*}
※2023/8/7 追記: 同様の解法で解くことが出来る以下の類題を作成しましたのでもしよければチャレンジしてみてください！

類題
数列$\{a_n\}$は
$\displaystyle a_1 = 1, ~a_{n+1} = 2n+1 + \frac{n^4+4}{a_n}$
を満たしている．数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

投稿日：2023年7月4日

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