数式をいじっていたら、示したい命題が出てきたのでメモ。
多分正しいと思うけれど、確信はありません。
学がないので表記がオカシイ所があってもご容赦ください
自然数：1以上の整数
$\left\{ t_n \right\}=(t_{1},t_{2},t_{3}, \ldots , t_{n})$
自然数からなる、任意の有限数列。
$t_n$が数列のなかで最大の項とする。そうでない場合は適宜、数列を回転させる。
また、数列の部分和について以下のように定義する。
$\sigma_{k}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+ \cdots + t_{k-1}+t_{k}$
$\sigma_{n}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+ \cdots + t_{n-1}+t_{n}$
さらに
$\rho_{k}=\sigma_{k}-t_{k}$
とする。つまり
$\rho_{1}=0$
$\rho_{k}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+ \cdots + t_{k-1} \qquad (k \geqq 2)$
任意の自然数列に対する、次の$x$について考える。
$$x=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2^{ \rho_{k}} \cdot 3^{n-k}}{2^{\sigma_{n}}-3^{n}}$$
数列が、$2$のみから構成される定数列であるとき、$x=1$である。
それ以外の場合において、どんな自然数列に対しても$x$が自然数になることはない。
数列が自然数の定数列の場合については検証済。等比数列の和の公式を用いて算出できる。
定数を$c$とすると
$$x=\displaystyle \frac{1}{2^{c}-3}$$
PCによる実験によると$[a,b,c,a,b,c]$のような繰り返しの形の自然数列をあたえると$[a,b,c]$の場合と同じ$x$が出てくるみたい。
$x^2$に関してmod6を考えると、$x$自然数となるならば、$x \equiv 1$ または $x \equiv 5$
n=2の場合は解決したかも。
$t_1=a$、$t_2=b$とおくと
$$x=\frac{2^a+3}{2^{a+b}-3^2}$$
分子は常に正の数。$a+b \geqq 4$のとき分母も正の数。その条件下で、分子よりも分母の方が大きければ$0 \lt x \lt 1$となる。
これを念頭に式変形する。分母から分子を引くと
$(2^{a+b}-3^2)-(2^a+3)=2^{a-1}(2^{b+1}-2)-12$
これが正の数であれば良いので
$2^{a-1}(2^{b+1}-2) \gt 12$
これが成立するのは
$a \geqq 1,b \geqq 3$
$a \geqq 3,b \geqq 2$
$a \geqq 4,b \geqq 1$
のいずれかの条件をみたすとき。
条件を満たさない$(a,b)$の組み合わせは限られる。
$(a,b)$が、$(3,1)$のとき、$x=\displaystyle\frac{11}{7}$であり自然数ではない。
証明したいが行き詰ったので、とりあえず保留。ここにメモだけ残しておきます。
新しいことが分かったら随時更新する予定。
お暇な方は解いてみてください。