将来的に示したい数列の予想（個人用メモ）

はじめに

数式をいじっていたら、示したい命題が出てきたのでメモ。
多分正しいと思うけれど、確信はありません。
学がないので表記がオカシイ所があってもご容赦ください

表記について

自然数：$1$以上の整数

$\left\{ t_n \right\}=(t_{1},t_{2},t_{3}, \ldots , t_{n})$
自然数からなる、任意の有限数列。
$t_n$が数列のなかで最大の項とする。そうでない場合は適宜、数列を回転させる。

また、数列の部分和について以下のように定義する。
$\sigma_{k}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+ \cdots + t_{k-1}+t_{k}$
$\sigma_{n}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+ \cdots + t_{n-1}+t_{n}$

さらに
$\rho_{k}=\sigma_{k}-t_{k}$
とする。つまり
$\rho_{1}=0$
$\rho_{k}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+ \cdots + t_{k-1} \qquad (k \geqq 2)$

イメージの補強のために書き下しておく
$\rho_{1}=0$
$\rho_{2}=t_1$
$\rho_3=t_1+t_2$
$\rho_4=t_1+t_2+t_3$

$\{t_n\}=(t_1,t_2)$のとき

$$x=\frac{2^{t_1}+3}{2^{(t_1+t_2)}-3^2}$$ 　

$\{t_n\}=(t_1,t_2,t_3)$のとき

$$x=\frac{2^{(t_1+t_2)}+3 \cdot 2^{t_1}+3^2}{2^{(t_1+t_2+t_3)}-3^3}$$ 　

$\{t_n\}=(t_1,t_2,t_3,t_4)$のとき

$$x=\frac{2^{(t_1+t_2+t_3)}+3 \cdot 2^{(t_1+t_2)}+3^2\cdot2^{t_1}+3^3}{2^{(t_1+t_2+t_3+t_4)}-3^4}$$ 　

$\{t_n\}$が定数列の場合

数列が自然数の定数列の場合については検証済。等比数列の和の公式を用いて算出できる。
定数を$c$とすると
$$\sigma_n=cn$$
$$\rho_k=c(k-1)$$
なので
$$x=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2^{c(k-1)} \cdot 3^{n-k}}{2^{cn}-3^{n}}$$
よって
$$x=\displaystyle \frac{1}{2^{c}-3}$$
PCによる実験によると$[a,b,c,a,b,c]$のような繰り返しの形の自然数列をあたえると$[a,b,c]$の場合と同じ$x$が出てくるみたい。
$x^2$に関して$\mod 6$を考えると、$x$が自然数となるならば、$x \equiv 1$ または $x \equiv 5$

n=2の場合

n=2の場合は解決したかも。
$t_1=a$、$t_2=b$とおくと
$$x=\frac{2^a+3}{2^{a+b}-3^2}$$
分子は常に正の数。$a+b \geqq 4$のとき分母も正の数。その条件下で、分子よりも分母の方が大きければ$0 \lt x \lt 1$となる。
これを念頭に式変形する。分母から分子を引くと
$(2^{a+b}-3^2)-(2^a+3)=2^{a-1}(2^{b+1}-2)-12$
これが正の数であれば良いので
$2^{a-1}(2^{b+1}-2) \gt 12$

これが成立するのは
$a \geqq 1,b \geqq 3$
$a \geqq 3,b \geqq 2$
$a \geqq 4,b \geqq 1$
のいずれかの条件をみたすとき。
条件を満たさない$(a,b)$の組み合わせは限られる。
$(a,b)$が、$(3,1)$のとき、$x=\displaystyle\frac{11}{7}$であり自然数ではない。

計算

      from fractions import Fraction

def getPartialSum(lst,k):
#数列の部分和を算出する（k項目までの和）
    result=0
    for i in range(k):
        result=result+lst[i]   
    return result

def getX(lst):
#xを計算
    n=len(lst)
    sigma=getPartialSum(lst,n)
    print('sigma:'+str(sigma))
    bunbo=2**(sigma)-3**n
    bunsi=0
    for i in range(n):   #i:0～n-1
        j=n-1-i                 #j:n-1～0
        p= getPartialSum(lst,j)
        bunsi=bunsi+(2**p)*(3**(i))
    result=Fraction(bunsi,bunbo)
    return result

def getCycle(lst):
    x=getX(lst)
    print('x='+str(x))
    print('x='+str(x.numerator/x.denominator))
    print('\n')
    k=1
    lst2=lst[:-1]
    for i in lst2:
        x=(3*x)/2**i+Fraction(1,2**i)
        print('x='+str(x))
        k=k+1
    

分母が正になるよう数列を選びたい。

項数$n$に対して、項の合計が一定以上ならば分母が正になる。

      
def diff2p3p(s):
#2^s-3^kが最小の正数となるようなkを算出
    v2=2**s
    v3=1;
    k=0
    while v3<v2:
        v3=v3*3
        k=k+1
    v3=v3//3
    k=k-1
    print('2^'+str(s)+'='+str(v2))
    print('3^'+str(k)+'='+str(v3))
    print('2^'+str(s)+'-'+'3^'+str(k)+'='+str(v2-v3))


def diff3t2p(t):
#2^k-3^tが最小の正数となるようなkを算出
    v3=3**t
    v2=1
    k=0
    while v2<v3:
        v2=v2*2
        k=k+1
    print('2^'+str(k)+'='+str(v2))
    print('3^'+str(t)+'='+str(v3))
    print('2^'+str(k)+'-'+'3^'+str(t)+'='+str(v2-v3))
    

メモ

大きめの$x$を与える数列

$[1,1,2,2,2]$

試算した感じの感触

すべての項が$2$以上で、$2$より大きい項が$1$個以上ある$\implies$$x$は$1$未満
というか、項の平均が$2$より大きい$\implies$$x$は$1$未満かも

参考

$3^k$に対して、$3^k \lt 2^p$となる最小の$p$

弱い予想

適当に$x_k$からつくった和、差、積が整数でないことを示ば良い。

コメント

証明したかったけれど、行き詰ったので、とりあえず保留。ここにメモだけ残しておきます。
新しいことが分かったら随時更新する予定。
お暇な方は解いてみてください。