アーベルモノイドとそのグロタンディーク群

示すべきことは次の $3$ 点である。

1. 勝手な $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ の元 $(m,\ n)$ に対して、$(m,\ n) \sim (m,\ n)$
2. 勝手な $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ の元 $(m_{1},\ n_{1}),\ (m_{2},\ n_{2})$ に対して、$(m_{1},\ n_{1}) \sim (m_{2},\ n_{2}) \Rightarrow (m_{2},\ n_{2}) \sim (m_{1},\ n_{1})$
3. 勝手な $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ の元 $(m_{1},\ n_{1}),\ (m_{2},\ n_{2}),\ (m_{3},\ n_{3})$ に対して、$(m_{1},\ n_{1}) \sim (m_{2},\ n_{2}), (m_{2},\ n_{2}) \sim (m_{3},\ n_{3}) \Rightarrow (m_{1},\ n_{1}) \sim (m_{3},\ n_{3})$

3.のみが非自明である。
$\mathbb{N}$ において簡約律が成り立つこと、即ち命題「勝手な自然数 $m, n, k$ に対し、$m + k = n + k$ ならば $m = n$ が成り立つ」が成り立つことに注意せよ（証明は対偶を見よ）。

今、$m_{1} + n_{2} = m_{2} + n_{1}$ 及び $m_{2} + n_{3} = m_{3} + n_{2}$ が成り立つが、これより $m_{1} + n_{3} + (m_{2} + n_{2}) = m_{3} + n_{1} + (m_{2} + n_{2})$ である。後は簡約律によればよい。

まず、well-defined を確かめる。
整数 $\nu$ に対し、$(m_{1},\ n_{1}),\ (m_{2},\ n_{2})$ がともに「差が $\nu$ である整数のペア」であったとする。この時、$m_{1} - n_{1} = m_{2} - n_{2}$ なので $m_{1} + n_{2} = m_{2} + n_{1}$ であり、よって $2$ つのペアは同値である。

次に、単射性を見る。
整数 $\nu, \mu$ の像 $\overline{(m_{1},\ n_{1})},\ \overline{(m_{2},\ n_{2})}$ が一致したとする。すると、それらの代表元 $(m_{1},\ n_{1}),\ (m_{2},\ n_{2})$ は同値である。よって $m_{1} + n_{2} = m_{2} + n_{1}$ より $\nu = m_{1} - n_{1} = m_{2} - n_{2} = \mu$ である。

最後に、全射性を見る。勝手な同値類 $\overline{(m,\ n)}$ をとる。この代表元 $(m,\ n)$ を一つ取り、$\nu = m - n$ とすると、その像は $\overline{(m,\ n)}$ である。

主張で述べた全単射 $\mathbb{Z} \rightarrow (\mathbb{N} \times \mathbb{N}) / \sim$ を $\varphi$ で表す。

勝手な整数 $\mu,\ \nu$ をとり、これらが $\varphi$ によってそれぞれ $\overline{(m_{1},\ n_{1})}$ と $\overline{(m_{2},\ n_{2})}$ に対応するとする。そして、これらについて代表元 $(m_{1},\ n_{1}),\ (m_{2},\ n_{2})$ を一つずつ取る。よって $m_{1} - n_{1} = \mu,\ m_{2} - n_{2} = \nu$ である。

まず和が保たれることを見る。$\varphi(\mu + \nu) = \varphi(\mu) + \varphi(\nu)$ を示す。
右辺の計算結果は次のとおりである。
$$\varphi(\mu) + \varphi(\nu) = \overline{(m_{1},\ n_{1})} + \overline{(m_{2},\ n_{2})} = \overline{(m_{1} + m_{2},\ n_{1} + n_{2})}$$

$\overline{(m_{1} + m_{2},\ n_{1} + n_{2})}$ に対応する整数が $\mu + \nu$ であればよい。計算すると、$(m_{1} + m_{2}) - (n_{1} + n_{2}) = (m_{1} - n_{1}) + (m_{2} - n_{2}) = \mu + \nu$ であるから $\varphi(\mu + \nu) = \varphi(\mu) + \varphi(\nu)$ が言えた。

次に積が保たれることを見る。$\varphi(\mu \cdot \nu) = \varphi(\mu) \cdot \varphi(\nu)$ を示す。
右辺の計算結果は次のとおりである。
$$\varphi(\mu) \cdot \varphi(\nu) = \overline{(m_{1},\ n_{1})} \cdot \overline{(m_{2},\ n_{2})} = \overline{(m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2},\ m_{1}n_{2} + n_{1}m_{2}))}$$

$\overline{(m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2},\ m_{1}n_{2} + n_{1}m_{2}))}$ に対応する整数が $\mu \cdot \nu$ であればよい。計算すると、$(m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2}) - (m_{1}n_{2} + n_{1}m_{2}) = (m_{1} - n_{1}) \cdot (m_{2} - n_{2}) = \mu \cdot \nu$ であるから $\varphi(\mu \cdot \nu) = \varphi(\mu) \cdot \varphi(\nu)$ が言えた。

以降の証明において、$0$ で $M$ の単位元を表す。

(1)次の $3$ つを示す。

1. 勝手な $M \times M$ の元 $(m,\ n)$ に対して、$(m,\ n) \sim (m,\ n)$
2. 勝手な $M \times M$ の元 $(m_{1},\ n_{1}),\ (m_{2},\ n_{2})$ に対して、$(m_{1},\ n_{1}) \sim (m_{2},\ n_{2}) \Rightarrow (m_{2},\ n_{2}) \sim (m_{1},\ n_{1})$
3. 勝手な $M \times M$ の元 $(m_{1},\ n_{1}),\ (m_{2},\ n_{2}),\ (m_{3},\ n_{3})$ に対して、$(m_{1},\ n_{1}) \sim (m_{2},\ n_{2}),\ (m_{2},\ n_{2}) \sim (m_{3},\ n_{3}) \Rightarrow (m_{1},\ n_{1}) \sim (m_{3},\ n_{3})$

1.について、$m + n + 0 = m + n + 0$ なので $(m,\ n) \sim (m,\ n)$ とわかる。

2.について、適当な $k \in M$ に対して $m_{1} + n_{2} + k = m_{2} + n_{1} + k$ なので、 $m_{2} + n_{1} + k = m_{1} + n_{2} + k$ であり、即ち $(m_{2},\ n_{2}) \sim (m_{1},\ n_{1})$ である。

3.について、まず適当な $k, l \in M$ によって次が成り立っている。
$$m_{1} + n_{2} + k = m_{2} + n_{1} + k, \ \ m_{2} + n_{3} + l = m_{3} + n_{2} + l$$

これより、$m_{2} + n_{2} + k + l \in M$ に対して、次の等式が成り立つとわかる。
$$m_{1} + n_{3} + (m_{2} + n_{2} + k + l) = m_{3} + n_{1} + (m_{2} + n_{2} + k + l)$$

即ち、$(m_{1},\ n_{1}) \sim (m_{3},\ n_{3})$ である。

(2)$\overline{(m_{1},\ n_{1})}$ の代表元を $(m_{1},\ n_{1}), \ (\mu_{1},\ \nu_{1})$ とする。また、$\overline{(m_{2},\ n_{2})}$ の代表元を $(m_{2},\ n_{2}), \ (\mu_{2},\ \nu_{2})$ とする。この時、$(m_{1} + m_{2},\ n_{1} + n_{2}) \sim (\mu_{1} + \mu_{2},\ \nu_{1} + \nu_{2})$ であることを確かめる。

適当な $k \in M$ によって、$m_{1} + \nu_{1} + k = \mu_{1} + n_{1} + k$ が成り立つ。また、適当な $l \in M$ によって、$m_{2} + \nu_{2} + l = \mu_{2} + n_{2} + l$ が成り立つ。

これより、$k + l \in M$ について、次の等式が成り立つとわかる。
$$(m_{1} + m_{2}) + (\nu_{1} + \nu_{2}) + (k + l) = (\mu_{1} + \mu_{2}) + (n_{1} + n_{2}) + (k + l)$$

即ち $(m_{1} + m_{2},\ n_{1} + n_{2}) \sim (\mu_{1} + \mu_{2},\ \nu_{1} + \nu_{2})$ である。

(3)演算 $\bar{+}$ に関して次の $4$ つを示す。

1. 結合的であること
2. 可換であること
3. 単位的であること
4. 可逆であること

1.結合的であることを示す。
$G$ の元 $\overline{(m_{1},\ n_{1})},\ \overline{(m_{2},\ n_{2})},\ \overline{(m_{3},\ n_{3})}$ を任意にとる。すると下記のようにして結合律の成立がわかる。

\begin{eqnarray} (\overline{(m_{1},\ n_{1})}\ \bar{+}\ \overline{(m_{2},\ n_{2})})\ \bar{+}\ \overline{(m_{3},\ n_{3})} &=& \overline{(m_{1} + m_{2},\ n_{1} + n_{2})}\ \bar{+}\ \overline{(m_{3},\ n_{3})} \\ &=& \overline{((m_{1} + m_{2}) + m_{3},\ (n_{1} + n_{2}) + n_{3})} \\ &=& \overline{(m_{1} + (m_{2} + m_{3}),\ n_{1} + (n_{2} + n_{3}))} \\ &=& \overline{(m_{1},\ n_{1})}\ \bar{+}\ \overline{(m_{2} + m_{3},\ n_{2} + n_{3})} \\ &=& \overline{(m_{1},\ n_{1})}\ \bar{+}\ (\overline{(m_{2},\ n_{2})}\ \bar{+}\ \overline{(m_{3},\ n_{3})}) \end{eqnarray}

2.可換であることを示す。
$G$ の元 $\overline{(m_{1},\ n_{1})},\ \overline{(m_{2},\ n_{2})}$ を任意にとる。すると下記のようにして可換であることがわかる。

$$\overline{(m_{1},\ n_{1})}\ \bar{+}\ \overline{(m_{2},\ n_{2})} = \overline{(m_{1} + m_{2},\ n_{1} + n_{2})} = \overline{(m_{2} + m_{1},\ n_{2} + n_{1})} = \overline{(m_{2},\ n_{2})}\ \bar{+}\ \overline{(m_{1},\ n_{1})}$$

3.単位的であることを示す。可換であることを示しているので、右単位元の存在を示せば十分。
$\overline{(0,\ 0)}$ が右単位元であることを示す。
$G$ の元 $\overline{(m,\ n)}$ を任意にとる。すると下記のように $\overline{(0,\ 0)}$ が右単位元であることがわかる。
$$\overline{(m,\ n)}\ \bar{+}\ \overline{(0,\ 0)} = \overline{(m + 0,\ n + 0)} = \overline{(m,\ n)}$$

4.可逆であることを示す。可換であることを示しているので、$G$ のどの元についても右逆元が存在することを示せば十分。$G$ の元 $\overline{(m,\ n)}$ を任意にとる。 $\overline{(n,\ m)}$ が右逆元である。これを示す。

勝手な $m, n, k \in M$ に対して、$(m,\ n) \sim (m + k, \ n + k)$ であることに注意する。すなわち勝手な $\overline{(m,\ n)} \in G$ 及び $k \in M$ に対して、$\overline{(m,\ n)} = \overline{(m + k,\ n + k)}$ である。

これに注意すると、下記の計算により主張がわかる。

$\overline{(m,\ n)}\ \bar{+}\ \overline{(n,\ m)} = \overline{(m + n,\ n + m)} = \overline{(0 + (m + n),\ 0 + (m + n))} = \overline{(0,\ 0)}$

演算と単位元の保存をそれぞれ確かめる。

まず、演算を保つことを示す。任意に $m, \ n \in M$ をとる。すると、
$\iota(m)\ \bar{+}\ \iota(n) = \overline{(m,\ 0)}\ \bar{+}\ \overline{(n,\ 0)} = \overline{(m + n,\ 0)} = \iota(m + n)$ である。

次に、単位元を保つことを見る。$\iota(0) = \overline{(0,\ 0)}$ は $G$ の単位元であった。

$\iota: M \rightarrow G$ を自然な射とする。

まず、「自然な射の単射性」から「簡約律の成立」が従うことを示す。
勝手な $M$ の要素 $m, \ n,\ k$ であって $m + k = n + k$ を満たすものをとる。$m = n$ を示す。
$m + 0 + k = n + 0 + k$ が成り立っているので、$(m, \ 0) \sim (n, \ 0)$ 即ち $\iota(m) = \iota(n)$ が成り立つ。$\iota$ の単射性から $m = n$ が従う。

次に、「簡約律の成立」から「自然な射の単射性」が従うことを示す。
勝手な $M$ の要素 $m, \ n$ であって、$\iota(m) = \iota(n)$ を満たすものをとる。$m = n$ を示す。
$\iota(m) = \iota(n)$ 即ち $(m,\ 0) \sim (n,\ 0)$ から、適当な $k \in M$ に対して $m + 0 + k = n + 0 + k$ 、即ち $m + k = n + k$ が成り立つ。簡約律を仮定しているので $m = n$ が従う。

始めに、「射 $g$ が存在するとすればそれは何であるべきか」を考えてみる。
要請 $f = g \circ \iota$ によって、$\overline{(m,\ 0)}$ の値は決まってしまう。
実際、これは下記のようにならざるを得ない。
$$g(\overline{(m,\ 0)}) = g(\iota(m)) = g \circ \iota (m) = f(m)$$

また、先の注意より $g$ が群準同型になることを思い出せば、$\overline{(0,\ n)}$ の値も次のように決まる。
$$g(\overline{(0,\ n)}) = g(-\overline{(n,\ 0)}) = -g(\iota(n)) = - g \circ \iota (n) = - f(n)$$

最終的に $G$ の勝手な元 $\overline{(m,\ n)}$ の値は下記のようにならざるを得ない。
$$g(\overline{(m,\ n)}) = g(\overline{(m,\ 0)}) + g(\overline{(0,\ n)}) = f(m) - f(n)$$

ここまでの考察から、一意性は明らかである。存在性を確かめればよい。

上記の考察を踏まえて、所望の射の存在のためには次を示せばよい。

1. 写像 $g : G \rightarrow \Gamma: \overline{(m,\ n)} \mapsto f(m) - f(n)$ は well-defined
2. 上記の写像 $g$ は演算を保つ。

$g$ はアーベル群の間の写像なので、演算の保存を言えば単位元の保存も従う（つまりモノイド準同型となる）ことに注意する。

1.を示す。$G$ の元 $\overline{(m,\ n)}$ を任意にとる。$(m, \ n), \ (\mu, \ \nu)$ をその代表元とする。この時、$f(m) - f(n) = f(\mu) - f(\nu)$ が成り立つことを示す。

適当な $k \in M$ によって $m + \nu + k = \mu + n + k$ が成り立つ。これを $f$ で送ることで、群 $\Gamma$ において $f(m) + f(\nu) + f(k) = f(\mu) + f(n) + f(k)$ である。両辺から $f(n) + f(\nu) + f(k)$ を引けば主張が従う。

2.を示す。$G$ の元 $\overline{(m_{1},\ n_{1})},\ \overline{(m_{2},\ n_{2})}$ を任意にとる。$\overline{(m_{1},\ n_{1})},\ \overline{(m_{2},\ n_{2})}$ から代表元をそれぞれとり、$(m_{1},\ n_{1}), \ (m_{2},\ n_{2})$ とする。
すると、下記のようにして主張が従う。

\begin{eqnarray} g(\overline{(m_{1},\ n_{1})}\ +\ \overline{(m_{2},\ n_{2})}) &=& g(\overline{(m_{1} + m_{2},\ n_{1} + n_{2})})\\ &=& f(m_{1} + m_{2}) - f(n_{1} + n_{2})\\ &=& (f(m_{1}) - f(n_{1})) + (f(m_{2}) - f(n_{2}))\\ &=& g(\overline{(m_{1},\ n_{1})})\ +\ g(\overline{(m_{2},\ n_{2})}) \end{eqnarray}

最初の節で構成した商集合 $(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) / \sim$ とその上に定めた和 $+$ の組 $((\mathbb{N} \times \mathbb{N}) / \sim, +)$ は、$(\mathbb{N}, \ +)$ における簡約律の成立から、グロタンディーク群となっていることに注意する。

$\mathbb{Z}$ と包含写像 $i: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ の組 $(\mathbb{Z}, i)$ が $\mathcal{AMon}$ における $(\mathbb{N}, \ +)$ のグロタンディーク群の普遍性を満たすことを示せばよい。
実際、これが証明できれば $\mathbb{Z}$ と 「$\mathbb{N}$ のグロタンディーク群」の間にモノイド同型写像（つまり、全単射モノイド準同型）が伸びる。このモノイド同型写像はアーベル群の間に伸びているので群同型でもある。よって $\mathbb{Z}$ と 「$\mathbb{N}$ のグロタンディーク群」が群としての同型であることが従う。

任意にアーベル群 $\Gamma$ 及び射 $f: \mathbb{N} \rightarrow \Gamma$ の組 $(\Gamma, f)$ をとる。この時、射 $g: \mathbb{Z} \rightarrow \Gamma$ であって $f = g \circ i$ となるものがただ一つ存在することを言えばよい。

まず、$g$ が存在するとすればどのようなものでなければならないのかを考える。
任意に整数 $n$ をとる。$n$ が自然数なら要件 $f = g \circ i$
から、$g(n) = f(n)$ でなければならない。また、$n$ が負の数、すなわち自然数 $\nu$ を用いて $n = -\nu$ と表されるなら、$g$ が群準同型となることから、$g(n) = -f(\nu) = -f(-n)$ でなければならない。

このことから、一意性は明らかである。そして、このように $g$ を定義すれば、実際にそれはモノイド準同型となることも容易である。よって主張が証明できた。