多項式の無限積

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こんにちは！
今回は前回に引き続き以下のような無限積の問題を考えてみます。

$z \in C,$ $λ_{0}, λ_{1}, . . ., λ_{l} \in C$ とする。そして以下のような無限積を考える。
$\begin{array}{r} f (z) = \prod_{k = 1}^{\infty} (λ_{0} + λ_{1} T z + λ_{2} T^{2} z^{2} + \dots λ_{l} T^{l} z^{l}) \end{array}$
この無限積を次のような形式的べき級数で表せ。
$\prod_{k = 0}^{\infty} A_{k} z^{k}$

【解法】
$f (z) = (λ_{0} + λ_{1} z + \dots + λ_{l} z^{l}) f (T)$
を用いる。この関係式より以下の漸化式を得る。
$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 0}^{\infty} A_{k} z^{k} = (λ_{0} + λ_{1} z + \dots λ_{l} z^{l}) \sum_{k = 0}^{\infty} A_{k} T^{k} z^{k} \\ {\begin{matrix} f (0) = λ_{0} = A_{0} \\ A_{0} = λ_{0} A_{0} \\ A_{1} = λ_{0} T A_{1} + λ_{1} A_{0} \\ A_{2} = λ_{0} T^{2} A_{2} + λ_{1} T A_{1} + λ_{2} A_{0} \\ \dots \\ A_{l} = λ_{0} T^{l} A_{l} + λ_{1} T^{l - 1} A_{l - 1} + \dots λ_{l} A_{0} \\ A_{l + m} = λ_{0} T^{l + m} A_{l + m} + λ_{1} T^{l + m - 1} A_{l + m - 1} + \dots λ_{l} T^{m} A_{m} (m \in N) \end{matrix} \end{array}$
この漸化式を解くことで、求めるべき級数が分かる。

l=1の場合
$\begin{array}{r} {\begin{cases} f (0) = λ_{0} = A_{0} \\ A_{0} = λ_{0} A_{0} \\ A_{1} = λ_{0} T A_{1} + λ_{1} A_{0} \\ A_{m + 1} = λ_{0} T^{m + 1} A_{m + 1} + λ_{1} T^{m} A_{m} (m \in N) \end{cases} \end{array}$
ゆえに
$\begin{array}{r} {\begin{cases} A_{0} = λ_{0} = 1 \\ A_{m} = \frac{λ_{1} T^{m - 1}}{1 - T^{m}} A_{m - 1} = \frac{λ_{1}^{m} T^{\frac{1}{2} m (m - 1)}}{\prod_{l = 1}^{m} (1 - T^{l})} \end{cases} \end{array}$
これは前回導いた結果と一致する。

l=2の場合
$\begin{array}{r} {\begin{cases} f (0) = λ_{0} = A_{0} \\ A_{0} = λ_{0} A_{0} \\ A_{1} = λ_{0} T A_{1} + λ_{1} A_{0} \\ A_{2} = λ_{0} T^{2} A_{2} + λ_{1} T A_{1} + λ_{2} A_{0} \\ A_{m + 2} = λ_{0} T^{m + 2} A_{m + 2} + λ_{1} T^{m + 1} A_{m + 1} + λ_{2} T^{m} A_{m} \end{cases} \end{array}$
ゆえに、以下のような漸化式を得る。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} A_{0} = λ_{0} = 1 \\ A_{1} = \frac{λ_{1}}{1 - T} \\ A_{m + 2} = \frac{T^{m}}{1 - T^{m + 2}} (λ_{1} T A_{m + 1} + λ_{2} A_{m}) (m \in N) (♣) \end{cases} \end{array}$
漸化式 $(♣)$ は次のように書ける。
$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{cc} A_{m + 1} \\ A_{m + 2} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{λ_{2} T^{m}}{1 - T^{m + 2}} & \frac{λ_{1} T^{m + 1}}{1 - T^{m + 2}} \end{array}) (\begin{array}{cc} A_{m} \\ A_{m + 1} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{λ_{2} T^{m}}{1 - T^{m + 2}} & \frac{λ_{1} T^{m + 1}}{1 - T^{m + 2}} \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{λ_{2} T^{m - 1}}{1 - T^{m + 1}} & \frac{λ_{1} T^{m}}{1 - T^{m + 1}} \end{array}) \dots (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{λ_{2}}{1 - T^{2}} & \frac{λ_{1} T}{1 - T^{2}} \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 \\ \frac{λ_{1}}{1 - T} \end{array}) \end{array}$