多項式の無限積
こんにちは！
今回は前回に引き続き以下のような無限積の問題を考えてみます。
$z\in \mathbb{C},$$\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_l \in \mathbb{C}$とする。そして以下のような無限積を考える。
\begin{eqnarray}
f(z)=\prod_{k=1}^{\infty}(\lambda_0+\lambda_1 Tz +\lambda_2 T^2z^2 + \cdots \lambda_l T^lz^l)
\end{eqnarray}
この無限積を次のような形式的べき級数で表せ。
\begin{equation}
\prod_{k=0}^{\infty}A_kz^k
\end{equation}
【解法】
\begin{equation}
f(z)=(\lambda_0+\lambda_1 z+\cdots +\lambda_l z^l)f(T)
\end{equation}
を用いる。この関係式より以下の漸化式を得る。
\begin{eqnarray}
&&\sum_{k=0}^{\infty}A_kz^k=
(\lambda_0+ \lambda_1 z +\cdots \lambda_l z^l)\sum_{k=0}^{\infty}A_k T^k z^k\\&&
\left\{
\begin{array}{l}
f(0)=\lambda_0=A_0\\
A_0=\lambda_0 A_0\\
A_1=\lambda_0 TA_1+\lambda_1 A_0\\
A_2=\lambda_0 T^2A_2+\lambda_1TA_1+\lambda_2 A_0\\
\cdots \\
A_l=\lambda_0 T^lA_l+\lambda_1 T^{l-1}A_{l-1}+\cdots \lambda_l A_0\\
A_{l+m}=\lambda_0 T^{l+m}A_{l+m}+\lambda_1 T^{l+m-1}A_{l+m-1}+\cdots \lambda_l T^mA_m (m \in \mathbb{N})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
この漸化式を解くことで、求めるべき級数が分かる。
l=1の場合
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(0)=\lambda_0=A_0\\
A_0=\lambda_0 A_0\\
A_1=\lambda_0 TA_1+\lambda_1 A_0\\
A_{m+1}=\lambda_0 T^{m+1}A_{m+1}+\lambda_1 T^m A_m \hspace{ 10pt } (m\in \mathbb{N})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
ゆえに
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A_0=\lambda_0=1\\
A_m=\frac{\lambda_1T^{m-1}}{1-T^m}A_{m-1}=\frac{\lambda_1^m T^{\frac{1}{2}m(m-1)}}{\prod_{l=1}^{m}(1-T^l)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
これは前回導いた結果と一致する。
l=2の場合
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(0)=\lambda_0=A_0\\
A_0=\lambda_0 A_0\\
A_1=\lambda_0 TA_1 +\lambda_1 A_0\\
A_2=\lambda_0 T^2 A_2 +\lambda_1 TA_1 + \lambda_2 A_0\\
A_{m+2}=\lambda_0 T^{m+2} A_{m+2}+\lambda_1 T^{m+1}A_{m+1}+\lambda_2 T^m A_m
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ゆえに、以下のような漸化式を得る。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A_0=\lambda_0=1\\
A_1=\frac{\lambda_1}{1-T}\\
A_{m+2}=\frac{T^{m}}{1-T^{m+2}}(\lambda_1 TA_{m+1}+\lambda_2 A_m) \hspace{ 10pt } (m \in \mathbb{N}) \hspace{ 10pt } (\clubsuit )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
漸化式$(\clubsuit)$は次のように書ける。
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
A_{m+1}\\
A_{m+2}
\end{array}
\right)&=&
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
\frac{\lambda_{2} T^m}{1-T^{m+2}} & \frac{\lambda_1 T^{m+1}}{1-T^{m+2}}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
A_m \\
A_{m+1}
\end{array}
\right)\\
&=&
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{\lambda_2 T^m}{1-T^{m+2}} & \frac{\lambda_1 T^{m+1}}{1-T^{m+2}}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
\frac{\lambda_2 T^{m-1}}{1-T^{m+1}} & \frac{\lambda_1 T^{m}}{1-T^{m+1}}
\end{array}
\right)
\cdots
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
\frac{\lambda_2 }{1-T^2} & \frac{\lambda_1 T}{1-T^2}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1\\
\frac{\lambda_1}{1-T}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
$l\in \mathbb{N}-\{1,2\}$に関しても同様
