人生で出会う度に証明がわからなくなる部分分数の公式をmould理論でド突く記事

私は数学を8年ぐらいやっているんですが、それぞれ異なるシチュエーションでたぶん累計10回ぐらいは以下の公式に出会っています。

それだけ目にしていれば慣れるような気もしますが、不思議と一度たりともこの公式の証明をパッと思いつけたことがありません。

今日 (2025年9月15日) も例によってこれが必要になる日だったんですが、mould theoryを履修していたおかげで事なきを得ました。この記事はその記録です。

観察その1

上記定理で $x_{i}-z$ を $v_{i}$ と書き直すと
$$\prod_{i=1}^{r}\frac{1}{v_{i}}\stackrel{?}{=}\sum_{i=1}^{r}\left(\prod_{\substack{1 \le j \le r\\ j\neq i}}\frac{1}{v_{j}-v_{i}}\right)\frac{1}{v_{i}}$$
となります。これを示せば十分です。対称性を見やすくするために
$$\prod_{i=1}^{r}\frac{1}{v_{i}}\stackrel{?}{=}\sum_{i=1}^{r}\left(\prod_{j=1}^{i-1}\frac{1}{v_{j}-v_{i}}\right)\frac{1}{v_{i}}\left(\prod_{j=i+1}^{r}\frac{1}{v_{j}-v_{i}}\right)$$
と書き直しておきます。

観察その2

まず $\mathrm{Pi}\binom{u_{1}}{v_{1}}\coloneqq\frac{1}{v_{1}}$ はflexion unitです。付随するprimary bimouldを
$$\pic\coloneqq\foz|_{\fO=\mathrm{Pi}}=\invmu(1-\mathrm{Pi})$$
とすれば、上式の左辺は
$$\mathrm{LHS}=\pic\binom{u_{1},\ldots,u_{r}}{v_{1},\ldots,v_{r}}$$
であり、右辺のほうは
\begin{align} \mathrm{RHS} &=\sum_{i=1}^{r}\left(\prod_{j=1}^{i-1}\mathrm{Pi}\binom{u_{j}}{v_{j}-v_{i}}\right)\mathrm{Pi}\binom{u_{i}}{v_{i}}\left(\prod_{j=i+1}^{r}\mathrm{Pi}\binom{u_{j}}{v_{j}-v_{i}}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{r}\pic\binom{u_{1},\ldots,u_{i-1}}{v_{1}-v_{i},\ldots,v_{i-1}-v_{i}}\mathrm{Pi}\binom{u_{i}}{v_{i}}\pic\binom{u_{i+1},\ldots,u_{r}}{v_{i+1}-v_{i},\ldots,v_{r}-v_{i}}\end{align}
となります。$\mathrm{Pi}$ は $\boldsymbol{u}$-constant (上段変数に依存しない) ので $\mathrm{Pi}\binom{u_{i}}{v_{i}}=\mathrm{Pi}\binom{u_{1}+\cdots+u_{r}}{v_{i}}$ と書き直しても差し支えありません。したがって、ほしい等式は
$$\pic\binom{u_{1},\ldots,u_{r}}{v_{1},\ldots,v_{r}}\stackrel{?}{=}\sum_{i=1}^{r}\pic\binom{u_{1},\ldots,u_{i-1}}{v_{1}-v_{i},\ldots,v_{i-1}-v_{i}}\mathrm{Pi}\binom{u_{1}+\cdots+u_{r}}{v_{i}}\pic\binom{u_{i+1},\ldots,u_{r}}{v_{i+1}-v_{i},\ldots,v_{r}-v_{i}}$$
だということになります。

証明

記号を煩雑にしないよう
$$\bw\coloneqq(w_{1},\ldots,w_{r})\coloneqq\binom{u_{1},\ldots,u_{r}}{v_{1},\ldots,v_{r}}$$
とおき、すぐ上の式をflexion markerで書き直すと
$$\pic(\bw)\stackrel{?}{=}\sum_{i=1}^{r}\pic((w_{1},\ldots,w_{i-1})\rfloor_{w_{i}})\mathrm{Pi}({}_{w_{1},\ldots,w_{i-1}}\lceil w_{i}\rceil_{w_{i+1},\ldots,w_{r}})\pic({}_{w_{i}}\lfloor (w_{i+1},\ldots,w_{r}))$$
という具合になります。定義より右辺は $\gaxit(\pic,\pic)(\mathrm{Pi})(\bw)$ ですので、bimouldとしての等式
$$\pic\stackrel{?}{=}\gaxit(\pic,\pic)(1+\mathrm{Pi})$$
を示せば十分です (Remark: 右辺の $\mathrm{Pi}$ に $1$ を足しているのは空積と空和のギャップを埋めるためです)。以下これを頑張ります。まず $\gaxit$ の左右分離 (ecalle15 (5)) により
$$\gaxit(\pic,\pic)=\ganit(\pic)\circ\gamit(\ganit(\pic)^{-1}(\pic))$$
ですので、$\ganit(\pic)^{-1}$ のことを調べる必要がありますが、ecalle15 (450) で $\mathcal{A},\mathcal{B}$ の第一成分を $1$ にとることで $\ganit(\pic)^{-1}=\ganit(\mathrm{invgani}(\pic))$ がわかります。
さて kawamura25 Proposition 5.3 (1) より $\mathrm{invgani}(\pic)=(\pari\circ\anti)(\pij)$ です (ここで $\pij\coloneqq\mathfrak{os}|_{\fO=\mathrm{Pi}}=\mathrm{expari}(\mathrm{Pi})$ とした)。また、$\mathrm{Pi}$ は $\mathrm{BIMU}_{1}$ の元なので自動的にalternalになり、したがって komiyama Theorem A.7 より $\pij\in\GARI_{\as}$ です。このことから kawamura25 Proposition 2.14 より $\pij$ は $\mathrm{gantar}$-invariant になり、したがって先ほどの等式 $\mathrm{invgani}(\pic)=(\pari\circ\anti)(\pij)$ と合わせると $\mathrm{invgani}(\pic)=\invmu(\pij)$ がわかります。このことから
$$ \mathrm{gani}(\invmu(\pij),\pic)=1$$
で、$\mathrm{gani}$ の定義からこれは $\ganit(\pic)(\invmu(\pij))=\invmu(\pic)$ とも同値です。両辺に $\ganit(\pic)^{-1}$ を作用させれば $ \invmu(\pij)=\ganit(\pic)^{-1}(\invmu(\pic))$ で、$\gaxit(\text{～})$ が $\mmu$ 準同型であったこと (ecalle15 (445)) を用いれば $\invmu$ が除去できて $\pij=\ganit(\pic)^{-1}(\pic)$ が得られます。なので結局
$$\gaxit(\pic,\pic)=\ganit(\pic)\circ\gamit(\pij)$$
ということになります。ほしかった等式は $\pic\stackrel{?}{=}\gaxit(\pic,\pic)(1+\mathrm{Pi})$ だったわけですが、これを
$$\ganit(\pic)^{-1}(\pic)\stackrel{?}{=}\gamit(\pij)(1+\mathrm{Pi})$$
と書き換えてもよいということです。先ほど見たように $\ganit(\pic)^{-1}(\pic)=\pij$ だったので、さらに言い直せば $\pij\stackrel{?}{=}\gamit(\pij)(1+\mathrm{Pi})$ になればOKです。さて $\gaxit$ の準同型性を今度は $\gamit$ に限定して使うと、
\begin{align} \gamit(\pij)(1+\mathrm{Pi}) &=\gamit(\pij)(\pari(1-\mathrm{Pi}))\\ &=(\gamit(\pij)\circ\pari\circ\invmu)(\pic) \end{align}
もわかります。$\anti$ 共役を取ることで $\gamit$ を $\ganit$ に書き直すと、さらに
\begin{align} \gamit(\pij)(1+\mathrm{Pi}) &=(\anti\circ\ganit(\anti(\pij))\circ\anti\circ\pari\circ\invmu)(\pic)\\ &=(\anti\circ\ganit((\pari\circ\mathrm{invgani})(\pic))\circ\invmu\circ\pari\circ\anti)(\pic)\\ &=(\anti\circ\invmu\circ\ganit((\pari\circ\mathrm{invgani})(\pic))\circ\pari\circ\anti)(\pic)\\ &=(\anti\circ\invmu\circ\pari\circ\ganit(\mathrm{invgani}(\pic))\circ\anti)(\pic)\\ &=(\anti\circ\invmu\circ\pari\circ\ganit(\pic)^{-1}\circ\anti)(\pic)\\ &=(\anti\circ\invmu\circ\pari\circ\ganit(\pic)^{-1})(\pic)\\ &=(\mathrm{gantar}\circ\ganit(\pic)^{-1})(\pic) \end{align}
までたどり着けます。ただし、上から二つ目の等号では先ほども用いた等式 $ \mathrm{invgani}(\pic)=(\pari\circ\anti)(\pij)$ を使っており、また下から二つ目の等号で $\pic$ の $\anti$ 不変性 (定義 $\pic=\invmu(1-\mathrm{Pi})$ と $\anti$ の $\mmu$ 準同型性より明らか) を使っています。
一方でさっき2回ほど出てきた等式 $\ganit(\pic)^{-1}(\pic)=\pij$ がありますから、結局これは $\gamit(\pij)(1+\mathrm{Pi})=\mathrm{gantar}(\pij)$ と言っているのと同じで、先ほども見たように$\pij\in\GARI_{\as}\subseteq\GARI_{\mathrm{gantar}}$ ですから目的の等式
$$ \gamit(\pij)(1+\mathrm{Pi})=\pij$$
が得られました。

(以上、私が先ほど考えたままに書いているので余分な手間があるかもしれません)

書いていて気づいたこと

kawamura25 Lemma 7.8の証明冒頭とまったく同じ原理で
$$\gaxit(\foz,\foz)\circ\mathrm{gantar}=\ganit(\foz)\circ\mathrm{gantar}\circ\ganit(\foz)^{-1}$$
が成り立つので、両辺を $\foz$ に適用させたら終わりな気がしました。