#あいさつ。
おひさーです。急にチェビシェフ多項式が気になったので色々調べて書いてみます。
急ピッチで建設してるんですが、なかなか進まないので一旦投稿してしまえ！ということで投稿しました。随時、目次や、内容を追加します。
あと、mathlogに長さ制限あることに今更気づきました。

#目次
1.<a href="#definition">チェビシェフ多項式とは</a>
2.<a href="#explicit_expressions">チェビシェフ多項式の閉じた形</a>
3.<a href="#generating_functions">母関数について</a>
4.<a href="#">チェビシェフ多項式の直交性</a>
5.<a href="#">チェビシェフ多項式の特殊値</a>
6.<a href="#">チェビシェフ多項式が満たす微分方程式</a>
7.<a href="#">あ</a>


#<div id="definition">チェビシェフ多項式とは</div>

&&&thm 第一種チェビシェフ多項式
$\cos n\theta$は$\cos \theta$の$n$次多項式で表せる。
&&&
この$n$次多項式を第一種チェビシェフ多項式といい、$T_{n}(x)$と表す。つまり$T_{n}(\cos\theta)=\cos n\theta$である。

&&&prf 加法定理で帰納的に示す。
加法定理より、
\begin{align}
    \cos(k+1)\theta &= \cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta\\
    \cos(k+2)\theta &= \cos k\theta\cos 2\theta-\sin k\theta\sin2\theta\\
    第一式の両辺に2\cos \thetaをかけて\\
    2\cos \theta\cos (k+1)\theta &=2\cos k\theta\cos^{2}\theta-2\sin k\theta\sin \theta\cos \theta\\
    &= 2\cos k\theta\cos^{2}\theta-\sin k\theta\sin 2\theta\\
    第二式と差をとって\\
    \cos (k+2)\theta-2\cos\theta \cos (k+1)\theta &=\cos k\theta \cos 2\theta -2\cos k\theta \cos ^{2}\theta\\
    &= (2\cos^{2}\theta - 1)\cos k\theta - 2\cos k\theta \cos^{2}\theta\\
    &=-\cos k\theta\\
    \\
    \therefore\cos (k+2)\theta &= 2\cos \theta \cos (k+1)\theta - \cos k\theta
\end{align}

    
を得る。$\cos 0\theta = 1,\cos 1\theta = \cos \theta$より$k$について帰納的に、$\cos k\theta$が$\cos \theta$の多項式であることが従う。

&&&

&&&fml 第一種チェビシェフ多項式の漸化式
上で得た漸化式を$T_n$を用いて書くと、$T_{n+2}(\cos \theta)=2\cos \theta T_{n+1}(\cos \theta)-T_{n}(\cos \theta)$
$x\in \mathbb{R}$についての式にすることで第一種チェビシェフ多項式の漸化式$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)$を得る。
&&&

&&&thm 第二種チェビシェフ多項式
$\sin n\theta$は$\sin \theta$と$\cos \theta$の$n-1$次多項式の積で表せる。
&&&
$U_{n-1}(\cos \theta) =\displaystyle \frac{\sin n\theta}{\sin \theta}$を満たす$U_{n}$を第二種チェビシェフ多項式という。

&&&prf 定理1の証明と同様である。
\begin{align}
    \sin (k+2)\theta - 2\cos \theta \sin (k+1)\theta &= \sin k\theta \cos 2\theta -2\sin k\theta \cos^{2} \theta \\
    &=-\sin k\theta\\
    \therefore \sin (k+2)\theta &= 2\cos \theta \sin (k+1)\theta -\sin k\theta
\end{align}
を得る。$\sin 0\theta = 0,\sin 1\theta = \sin \theta$より$k$について帰納的に、$\sin k\theta$が$\sin \theta$と$\cos \theta$の$n-1$次多項式であることが従う。

&&&

&&&fml 第二種チェビシェフ多項式の漸化式
上で得た漸化式を$U_n$を用いて書くと、$U_{n+2}(\cos \theta)=2\cos \theta U_{n+1}(\cos \theta)-U_{n}(\cos \theta)$
$x\in \mathbb{R}$についての式にすることで第二種チェビシェフ多項式の漸化式$U_{n+2}(x)=2xU_{n+1}(x)-U_{n}(x)$を得る。
&&&

#さいご
これはFefrの投稿の試しなので気を付けて。