外接四角形の細胞分裂（未証明）

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数学力のなさ

　GeoGebraで遊んでいたら、次が成り立ちそうだとわかった。

2 \times 2

マス

四角形 $A B C D$ の辺 $A B, B C, C D, D A$ 上に点 $P, Q, R, S$ を取り、図のように $4$ つの四角形に分割すると、それらはすべて円に外接した。このとき、次が成り立つ。

四角形 $A B C D$ は円に外接する。
直線 $A D, B C, P R$ は $1$ 点で交わり（またはすべて平行）、直線 $A B, C D, Q S$ も $1$ 点で交わる（またはすべて平行）。
ほーん、なんかすごい

　証明の仕方はわからんけど、まあええわ。この図の発展形を考えてみよう。

3 \times 3

バージョン

四角形 $A B C D$ の辺 $A B, B C, C D, D A$ 上に点 $P_{1}, P_{2}, Q_{1}, Q_{2}, R_{1}, R_{2}, S_{1}, S_{2}$ を取り、図のように9つの四角形に分割すると、それらはすべて円に外接した。このとき、次が成り立つ。

四角形 $A B C D$ は円に外接する。
直線 $A D, B C, P_{1} R_{1}, P_{2} R_{2}$ は $1$ 点で交わり（またはすべて平行）、直線 $A B, C D, Q_{1} S_{1}, Q_{2} S_{2}$ は $1$ 点で交わる（またはすべて平行）。
外接四角形の細胞分裂

　図を見る感じ、成り立ちそうである。 $1$ 点に交わるのは、 $2 \times 2$ の方が証明できたら明らかにわかる。四角形 $A B C D$ が円に外接するのは、 $2 \times 2$ の方を証明できたとしても明らかにわかるとは言えないかも。どちらにしろ、証明の仕方わからんけど。
　視点を変えて、最初に外接四角形を用意するなら、次の検討課題が考えられる。

円に外接する四角形 $A B C D$ の内部に点 $X$ を置き、図のように $X$ を通る $2$ つの直線によって四角形を $4$ つに分割する。これら $4$ つの四角形すべてが円に外接するとき、点 $X$ はどのような点か？また、点 $X$ は $1$ つに定まるか。
これは左下の小四角形から作図しているよ