正n角形の面積公式

レベル低いけど正$n$角形の面積公式を出します.
おそらく多分高校までの知識でできます.

中心点から頂点までの距離をrとする.

周りの長さを求める

正$n$角形を合同な二等辺三角形に$n$等分した図形
この二等辺三角形の一辺の部分の$t$を求めるには余弦定理を利用します.

$t^2=r^2+r^2-2r^2\cos \theta$となり、計算すると
$t=r\sqrt{2-2\cos \theta }$となる

二等辺三角形の高さを求める

二等辺三角形

二等辺三角形の高さ$\phi$は三平方の定理を使って計算できます.
${\phi }^2+(\frac{t^2}{4})=r^2$

${\phi }^2=r^2-(\frac{2r^2(1-\cos \theta )}{4})$となり

$\phi =\frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\cos \theta }$となります.

この二等辺三角形の面積$S$は$\phi \cdot t\cdot 0.5$なので
$S=\frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\cos \theta }\cdot r\sqrt{2-2\cos \theta }\cdot \frac{1}{2}=r\sqrt{1+\cos \theta }\cdot r\sqrt{1-\cos \theta }\cdot \frac{1}{2}$となり、

$S=\frac{r^2}{2}\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$このようになります.

$\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sin \theta$なので

$S=\frac{r^2}{2}\sin \theta$となる

$\theta$は$2\pi$の$n$等分なので

$\theta =\frac{2\pi }{n}$

正$n$角形の面積は二等辺三角形の$n$倍なので、正$n$角形の面積は
$\frac{n{r}^2}{2}\sin \frac{2\pi }{n}$となる

正$n$角形の面積

正$n$角形の面積は中心点から頂点までの距離を$r$とすると
$\frac{n{r}^2}{2}\sin \frac{2\pi }{n}$である