超球関数のMehler-Dirichlet型積分表示
超球多項式の一般化である超球関数は
\begin{align}
C_{\nu}^{(a)}(x):=\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}
\end{align}
によって定義される. 今回は以下の積分表示を示す.
\begin{align} C_{\nu}^{(a)}(\cos\theta)&=\frac{2^a\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}(\sin\theta)^{1-2a}\\ &\qquad\cdot\int_0^{\theta}\cos((\nu+a)\phi)(\cos\phi-\cos\theta)^{a-1}\,d\phi \end{align}
示すべき等式は
\begin{align}
\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\sin^2\frac{\theta}2}&=\frac{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}\left(\sin\frac{\theta}2\cos\frac{\theta}2\right)^{1-2a}\\
&\qquad\cdot\int_0^{\theta}\cos((\nu+a)\phi)\left(\sin^2\frac{\theta}2-\sin^2\frac{\phi}2\right)^{a-1}\,d\phi
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{t}&=\frac{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}(t(1-t))^{\frac 12-a}\\
&\qquad\cdot \int_0^{2\arcsin\sqrt t}\cos((\nu+a)\phi)\left(t-\sin^2\frac{\phi}2\right)^{a-1}\,d\phi
\end{align}
を示せばよい. 右辺はChebyshev関数の表示
\begin{align}
\cos(\nu+a)\phi&=\F21{-\nu-a,\nu+a}{\frac 12}{\frac{1-\cos\phi}2}\\
&=\F21{-\nu-a,a+\nu}{\frac 12}{\sin^2\frac{\phi}2}
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\int_0^{2\arcsin\sqrt t}\cos((\nu+a)\phi)\left(t-\sin^2\frac{\phi}2\right)^{a-1}\,d\phi\\
&=\int_0^{2\arcsin\sqrt t}\F21{-\nu-a,\nu+a}{\frac 12}{\sin^2\frac{\phi}2}\left(t-\sin^2\frac{\phi}2\right)^{a-1}\,d\phi\\
&=\int_0^t\frac{\F21{-\nu-a,\nu+a}{\frac 12}u(t-u)^{a-1}}{\sqrt{u(1-u)}}\,du\\
&=\int_0^t\frac{\F21{\frac 12+\nu+a,\frac 12-\nu-a}{\frac 12}u(t-u)^{a-1}}{\sqrt{u}}\,du\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+\nu+a,\frac 12-\nu-a\right)_n}{n!\left(\frac 12\right)_n}\int_0^tu^{n-\frac 12}(t-u)^{a-1}\,du\\
&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}t^{a-\frac 12}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+\nu+a,\frac 12-\nu-a\right)_n}{n!\left(a+\frac 12\right)_n}t^n\\
&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}t^{a-\frac 12}\F21{\frac 12+\nu+a,\frac 12-\nu-a}{a+\frac 12}t\\
&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}t^{a-\frac 12}(1-t)^{a-\frac 12}\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}t
\end{align}
となるので, これを代入して示すべき等式を得る. 途中の変形でEulerの変換公式
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{x}&=(1-x)^{c-a-b}\F21{c-a,c-b}{c}{x}
\end{align}
を用いた.
Legendre関数の積分表示
Legendre関数は
\begin{align}
P_{\nu}(x):=\F21{-\nu,\nu+1}{1}{\frac{1-x}2}
\end{align}
と定義される. 定理1において, $a=\frac 12$として以下を得る.
\begin{align} P_{\nu}(\cos\theta)&=\frac{\sqrt 2}{\pi}\int_0^{\theta}\frac{\cos(\nu+\frac 12)\phi}{\sqrt{\cos\phi-\cos\theta}}\,d\phi \end{align}
