等差数列×等比数列の和の計算

定義

$r\ne 1$であり、

$a_n=n{r}^{n-1}$とする。
書き並べると$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(1,2r,3r^2,\cdots ,n{r}^{n-1})$等差×等比の形の数列。

${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n{a}_n}$とする

この記事の結論

上式の証明

${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n{a}_n=1+2r+3r^2+\cdots +n{r}^{n-1}}$
両辺にr$\ne 1$を掛けると
${\displaystyle r{S}_n=\sum _{k=1}^n{a}_n=r+2r^2+3r^3+\cdots +(n-1)r^{n-1}+n{r}^n}$

この2式を辺々引くと、${\displaystyle (1-r)S_n=\underset{―}{1+r+r^2+\cdots +r^{n-1}}-n{r}^n}$
$1=r^0$に注意すると、下線部は初項$1$,公比$r$,項数$n$の等比数列なので、

${\displaystyle (1-r)S_n=\frac{1-r^n}{1-r}-n{r}^n}$

$\iff {\displaystyle S_n=\frac{1-r^n}{(1-r{)}^2}-\frac{n{r}^n}{(1-r)}}$

$\iff {\displaystyle S_n=\frac{1-r^n-n{r}^n(1-r)}{(1-r{)}^2}}$

$\iff {\displaystyle S_n=\frac{n{r}^{n+1}-(n+1)r^n+1}{(1-r{)}^2}Q.E.D}$

具体例$n=4,r=5$

上で示した命題を用いずそのまま計算

$a_n=n{5}^{n-1}$( 明示的に並べると$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(1,2\cdot 5,3\cdot 5^2,4\cdot 5^3,\cdots ,n{5}^{n-1})$

${\displaystyle S_4=\sum _{k=1}^4{a}_n=1+2\cdot 5+3\cdot 5^2+4\cdot 5^3=1+10+75+500=586}$

上で示した命題を用いて計算

${\displaystyle S_n=\frac{4\cdot 5^{4+1}-(4+1)5^4+1}{(1-5{)}^2}=\frac{4\cdot 5^5-5^5+1}{4^2}=\frac{3\cdot 5^5+1}{4^2}=\frac{9376}{16}=586}$

確かに具体例でも一致している。

コメント

一々計算をするのも大変なので、等差×等比数列の和の公式を与えておいた。
示す気になれば示せるのであれば、一度作ってそれを使い回そうと思う。
一般に$n$についての多項式×等比数列であれば和の計算は可能なようだ。