高校数学解説

ルート2が無理数であることの証明（方程式による）

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動機

代数的数について考えていたら、「有理数って定義1で書けるよね」、と思ったので
これを用いて表題の証明を考えてみたいと思います。議論に穴があったら優しく教えてください。

有理数

$a$ 、 $b$ を整数として方程式
$a x - b = 0$
の解となり得る数を有理数という

前提

議論の前提として、以下の命題を示しておく

整数係数の多項式 $f (x)$ 、 $g (x)$ について、次の２つの方程式を考える。
$f (x) = 0$
$g (x) = 0$
両者が同一の解をもつとき、適切な整数 $k$ を選べば、以下の恒等式が成り立つ
$f (x) = k \cdot g (x)$

感覚だが、たぶん成り立つ

2次方程式において、解の一方が有理数であれば他方も有理数である

解と係数の関係から明らか

$\sqrt{2}$ が無理数であることの証明

$\sqrt{2}$ は次の方程式の解である。
$x^{2} - 2 = 0$
一方、有理数解をもつ2次方程式は整数 $a_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $b_{2}$ を用いて
$(a_{1} x - b_{1}) (a_{2} x - b_{2}) = 0$
と表せる。
よって $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、以下の恒等式が成立するような
整数 $a_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $b_{2}$ が存在する。
$(a_{1} x - b_{1}) (a_{2} x - b_{2}) = x^{2} - 2$
つまり
$a_{1} a_{2} x^{2} - (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) x + b_{1} b_{2} = x^{2} - 2$
各次数の係数を比較すると
$a_{1} a_{2} = 1$
$a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} = 0$
$b_{1} b_{2} = - 2$
$a_{1} a_{2} = 1$ を満たす整数 $(a_{1}, a_{2})$ の組は $(1, 1) 、 (- 1, - 1)$ の2組である。
$b_{1} b_{2} = - 2$ を満たす整数 $(b_{1}, b_{2})$ の組は
$(- 1, 2) 、 (1, - 2) 、 (- 2, 1) 、 (2, - 1)$
の4組である。
どの組み合わせを選んでも $a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} = 0$ を満たさないので、所望の整数 $a_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $b_{2}$ の組は存在しない。
よって $\sqrt{2}$ は無理数である。