代数的数について考えていたら、「有理数って定義1で書けるよね」、と思ったので
これを用いて表題の証明を考えてみたいと思います。議論に穴があったら優しく教えてください。
$a$、$b$を整数として方程式
$$ax-b=0$$
の解となり得る数を有理数という
議論の前提として、以下の命題を示しておく
整数係数の多項式$f(x)$、$g(x)$について、次の２つの方程式を考える。
$$f(x)=0$$
$$g(x)=0$$
両者が同一の解をもつとき、適切な整数$k$を選べば、以下の恒等式が成り立つ
$$ f(x)=k \cdot g(x) $$
感覚だが、たぶん成り立つ
2次方程式において、解の一方が有理数であれば他方も有理数である
解と係数の関係から明らか
$\sqrt{2}$は次の方程式の解である。
$$x^2-2=0$$
一方、有理数解をもつ2次方程式は整数$a_1$、$b_1$、$a_2$、$b_2$を用いて
$$(a_1x-b_1)(a_2x-b_2)=0$$
と表せる。
よって$\sqrt{2}$が有理数であると仮定すると、以下の恒等式が成立するような
整数$a_1$、$b_1$、$a_2$、$b_2$が存在する。
$$(a_1x-b_1)(a_2x-b_2)=x^2-2$$
つまり
$$a_1a_2x^2-(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2=x^2-2$$
各次数の係数を比較すると
$$a_1a_2=1$$
$$a_1b_2+a_2b_1=0$$
$$b_1b_2=-2$$
$a_1a_2=1$を満たす整数$(a_1,a_2)$の組は$(1,1)、(-1,-1)$の2組である。
$b_1b_2=-2$を満たす整数$(b_1,b_2)$の組は
$(-1,2)、(1,-2)、(-2,1)、(2,-1)$
の4組である。
どの組み合わせを選んでも$a_1b_2+a_2b_1=0$を満たさないので、所望の整数$a_1$、$b_1$、$a_2$、$b_2$の組は存在しない。
よって$\sqrt{2}$は無理数である。
代数的数は「整数係数の代数方程式の解になり得る数」と定義されるそうです。
「因数分解できない$n$次の代数方程式の解となり得る数」を$n$次の代数的数として
代数的数を分類したら面白かったりするんだろうか