ヤコビの三重積のヤコビによる証明

$$f(z)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+q^{2n-1}z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n{z}^n$$
とおいたとき、無限積表示から
$$f(z)=(1+qz)f(q^{2}z)$$
が成り立つのでこの両辺における$z^n$の係数を比較することで
$$A_n=A_n{q}^{2n}+A_{n-1}{q}^{2n-1}$$
つまり漸化式
$$A_n=\frac{q^{2n-1}}{1-q^{2n}}{A}_{n-1}$$
が得られる。よって$A_0=1$より
$$A_n=\frac{q^{n^2}}{\prod _{k=1}^n(1-q^{2k})}$$
がわかる。

$$f(z)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-q^{n}z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\frac{z^n}{\prod _{k=1}^n(1-q^{k}z)}$$
とおいたとき(このような展開の存在と一意性はちゃんと保証されるのでしょうか)、
$$\begin{array}{rl}f(z)& =\frac{f(qz)}{1-qz}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\frac{q^n{z}^n}{\prod _{k=1}^{n+1}(1-q^{k}z)}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\frac{q^n{z}^n(1-q^{n+1}z)+q^{2n+1}{z}^{n+1}}{\prod _{k=1}^{n+1}(1-q^{k}z)}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(A_n{q}^n+A_{n-1}{q}^{2n-1})\frac{z^n}{\prod _{k=1}^n(1-q^{k}z)}\end{array}$$
より漸化式
$$A_n=\frac{q^{2n-1}}{1-q^n}$$
が得られる。よって$A_0=1$より
$$A_n=\frac{q^{n^2}}{\prod _{k=1}^n(1-q^k)}$$
がわかる。

　補題1より
$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2n-1}z)(1-q^{2n-1}{z}^{-1})=\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}{z}^n}{\prod _{k=1}^n(1-q^{2k})}\right)\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}{z}^{-n}}{\prod _{k=1}^n(1-q^{2k})}\right)$$
が成り立ち、この右辺における$z^n,z^{-n}(n\ge 0)$の係数は
$$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{(m+n{)}^2}}{\prod _{k=1}^{m+n}(1-q^{2k})}\frac{q^{m^2}}{\prod _{k=1}^m(1-q^{2k})}=\frac{q^{n^2}}{\prod _{k=1}^n(1-q^{2k})}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{2mn}}{\prod _{k=1}^m(1-q^{2(n+k)})}\frac{q^{2m^2}}{\prod _{k=1}^m(1-q^{2k})}$$
と表せる。
　また補題2より
$$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-q^{2(n+k)}}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{2m^2}{q}^{2mn}}{\prod _{k=1}^n(1-q^{2k})(1-q^{2(n+k)})}$$
が成り立つので
$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2n-1}z)(1-q^{2n-1}{z}^{-1})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}{z}^n}{\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2k})}$$
つまり
$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2n})(1-q^{2n-1}z)(1-q^{2n-1}{z}^{-1})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}{z}^n$$
を得る。