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積分ガチャの超級公募に応募しなかった問題を高校範囲のみで解いてみた。【採用されました。別の問題が】

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お知らせ

問題が積分ガチャ超級に採用されました!!

この問題が応募できなかった理由について

最初、応募する問題を2問用意してたのですが、応募条件で一度に1問しか応募できず、こちらの問題が没になった訳なのですが......

このたび、これではない別の積分が採用されることになりました!

応募しなかった問題

次の定積分を解け。

I=0πsinx1+1+sin2x dx

積分ガチャの問題はすべて高校までに習う数学で解くことが出来ます。解き始める前に高校数学の範囲でこの定積分を解く上で難しいポイントを紹介しましょう。

1. 分母の有理化

sinx1+1+sin2x=1+1+sin2x2cosx

x=π2のときcosx=0ですので、これは広義積分になります。

2. 定番の置換

三角関数が含まれる積分の難問で常套手段として使われるt=tanx2(ワイエルシュトラスの置換)を用いて置換すると、x:0πt:0となり、これも広義積分となってしまいます。

他にも、sinxsin2xを同時に消せる上手い置換が少ないなど......

今回は作問者がどのようにして、高校数学の範囲内でこの積分を解いたのか書いていきます。

類題

J=0πsinx2+3+sin2x dx

メインの問題が今から解説する解法以外で解けることに気がついたので、それを対策したバージョンです。

解説パート

積分区間分け

0πsinx1+1+sin2x dx
積分区間を分けて、それぞれI1, I2とおく。
I1=0π2sinx1+1+sin2x dx, I2=π2πsinx1+1+sin2x dx
King Propertyより
I1=0π2cosx1+1+sin2x dx, I2=π2πcosx1+1+sin2x dx
等しい2式をそれぞれ合わせて
2I1=0π2sinx+cosx1+1+sin2x dx, 2I2=π2πsinxcosx1+1+sin2x dx

(i) I1を計算する。

y=sinxcosxとおく。
x:0π2y:11,
dy=sinx+cosx dx, sin2x=2sinxcosx=1y2より

2I1=0π2sinx+cosx1+1+sin2x dx

=11sinx+cosx1+1+(1y2)1sinx+cosx dy
=11dy1+2y2
偶関数だから
I1=01dy1+2y2

y=2sinθ (|θ|π2)とおく。y:01θ:0π4, dy=2cosθ dθより
=0π42cosθ1+2cosθ dθ=π40π4dθ1+2cosθ


z=tanθ2 (|z|1)とおく。

θ:0π4z:0tanπ8, dθ=21+z2 dzより
π4I1=0π4dθ1+2cosθ
=0tanπ811+21z21+z221+z2 dz
20tanπ8dz1+2(21)z2
=2(1+2)0tanπ8dz(1+2)2z2
=0tanπ81z+1+21z12dz
=[log|z+1+2z12|]0tanπ8
tanπ8=21より
=log|(21)+1+2(21)12|log|1+212|=12log2
I1=π412log2

(ii) I2を計算する。

s=sinx+cosxとおく。
x:π2πs:11,
ds=cosxsinx dx, sin2x=2sinxcosx=s21より

2I2=π2πsinxcosx1+1+sin2x dx
=11 sinxcosx1+1+(s21)1cosxsinx ds
=11ds1+|s|
偶関数だから
I2=01ds1+s=[log(1+s)]01=log2

(i),(ii)より
0πsinx1+1+sin2x dx=I1+I2=π4+12log2


この問題の解説書くまで、tant2の置換にワイエルシュトラスの置換という名前があることを知りませんでした。

投稿日:2024318
更新日:2024529
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  1. お知らせ
  2. 応募しなかった問題
  3. 類題
  4. 解説パート
  5. 積分区間分け
  6. $(i) \ I_1$を計算する。
  7. $(ii) \ I_2$を計算する。