んちゃ!
皆ゼータ関数好きだよね?
Yanaさんとずんだもんは少なくともゼータ関数大好きだよ。
君がゼータ関数の事を好きになってもらえるように頑張るね。
ちなみに、天下り的な書き方にならないように気を付けているよ。
証明は基本的に省かないスタイルだから最初は頭空っぽにして読んでも面白いかもね?
じゃあ、楽しんで読んでみてね。
この記事は書きかけなのだ。随時更新していくのだ。
$Re(s)\gt 1$であるような複素数$s\in\mathbb{C}$に対して次の様な関数$\zeta:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$をゼータ関数という。
\begin{equation}
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}
\end{equation}
$Re(s)\gt 1$に対してゼータ関数を定義する級数は絶対収束する。
$Re(s)=\sigma,Im(s)=\delta$とすると次の様に書ける。
\begin{eqnarray}
|n^{-s}|&=&|n^{-\sigma}n^{-i\delta}|\\
&=&|n^{-\sigma}||e^{-i\delta\log{n}}|\\
&=&n^{-\sigma}
\end{eqnarray}
ゆえに、
\begin{eqnarray}
|\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}|&\leq&\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\sigma}\\
&\leq& 1+\int_{1}^{\infty}x^{-\sigma}dx\\
&=&1-\frac{1}{\sigma-1}\quad(\sigma\gt 1)
\end{eqnarray}
$\mathbb{P}=\{p\in\mathbb{N}|p\ is\ prime\}$とすると下記の式が成り立つ。
\begin{equation}
\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}(1-p^{-s})^{-1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{1-p^{-s}}=1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots
\end{equation}
自然数$n$が次の様に素因数分解:$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}$できる場合$p_{1}^{-e_{1}s},p_{2}^{-e_{2}s},...,p_{k}^{-e_{k}s}$を選択すれば$n^{-s}=p_{1}^{-e_{1}s}p_{2}^{-e_{2}s}\cdots p_{k}^{-e_{k}s}$を作れるので与えらた式は正しい。
関数$\pi:\mathbb{R_{+}}\rightarrow \mathbb{N}$を次の様に定める。
\begin{equation}
\pi(x)=(number\ of\ prime\ that\ is\ less\ than\ x)
\end{equation}
\begin{equation} \log{\zeta(s)}=s\int_{2}^{\infty}\frac{\pi(x)}{x(x^{s}-1)}dx \end{equation}
\begin{eqnarray} \log{\zeta(s)}&=&-\sum_{p\in\mathbb{P}}\log{(1-p^{-s})}\\ &=&-\sum_{n=1}^{\infty}(\pi(n)-\pi(n-1))\log{(1-n^{-s})}\\ &=&-\sum_{n=1}^{\infty}\pi(n)\{\log{(1-n^{-s})}-\log{(1-(n+1)^{-s})}\}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\pi(n)\int_{n}^{n+1}\frac{s}{x(x^{s}-1)}dx\\ &=&s\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{\pi(x)}{x(x^{s}-1)}dx\\ &=&s\int_{1}^{\infty}\frac{\pi(x)}{x(x^{s}-1)}dx \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \mu(n)= \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad(n=1)\\ (-1)^{k}\quad(if\ n\ is\ the\ product\ of\ k\ different\ prime)\\ 0\quad(otherwise) \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \sum_{d|n}\mu(d)=\left\{ \begin{array}{l} 1\quad(n=1)\\ 0\quad(otherwise) \end{array} \right. \end{eqnarray}
[1]n=1の場合は明らか。
[2]$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}$の場合は、$p_{i_1},p_{i_2},...,p_{i_{l}}$を$l$個選ぶ方法は$\begin{pmatrix}n\\l\end{pmatrix}$個なので
\begin{eqnarray}
\sum_{d|n}\mu(d)&=&\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\\
&=&(1-1)^{n}\\
&=&0
\end{eqnarray}
\begin{equation} \frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^{s}} \end{equation}
Euler積を用いれば明らか。
\begin{eqnarray} 1&=&\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{s}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^{s}}\\ &=&\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^{s}}\sum_{n|q}\mu(\frac{q}{n})\\ &=&\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^{s}}\sum_{n|q}\mu(n) \end{eqnarray}
\begin{equation} g(q)=\sum_{d|q}f(d)\Rightarrow f(q)=\sum_{d|q}\mu(\frac{q}{d})g(d) \end{equation}
\begin{eqnarray}
\sum_{d|q}\mu(\frac{q}{d})g(d)&=&\sum_{d|q}\mu(\frac{q}{d})\sum_{r|d}f(r)\\
&=&\sum_{d|q}\sum_{r|d}\mu(\frac{q}{d})f(r)\\
&=&\sum_{r|q}f(r)\sum_{d^{'}|\frac{q}{r}}\mu(d^{'})\\
&=&f(q)
\end{eqnarray}
*級数の入れ替えの考え方
$r$を固定して考えると$d$は$r$の倍数。ゆえに、ある$k$が存在して$d=kr$と書ける。ゆえに、$\frac{q}{r}=k\frac{q}{d}$と書ける。つまり、$\frac{q}{d}=d^{'}$は$\frac{q}{r}$の約数。
上の証明でイメージがわかない人はこの例を見てみてね。
$q=6$の場合
r,d | 1 | 2 | 3 | 6 |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | |
2 | 2 | |||
3 | 3 | |||
6 |
$d^{'}$,r | 1 | 2 | 3 | 6 |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | |
2 | 2 | |||
3 | 3 | |||
6 |
\begin{eqnarray} \Lambda(n)= \left\{ \begin{array}{l} \log{n}\quad(n\ is\ p\ or\ a\ power\ of\ p)\\ 0\quad(otherwise) \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{equation} \frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{s}} \end{equation}
\begin{eqnarray} \frac{d}{ds}\log{\zeta(s)}&=&\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}\\ &=&-\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{\log{p}}{p^{s}}\frac{1}{1-p^{-s}}\\ &=&-\sum_{p\in\mathbb{P}}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\log{p}}{p^{ms}}\\ &=&-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{s}} \end{eqnarray}
\begin{equation} d_{k}(n)=number\ of\ ways\ of\ expressing\ n\ as\ a\ product\ of\ k\ fuctors \end{equation}
\begin{equation} \zeta^{k}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d_{k}(n)}{n^{s}} \end{equation}
\begin{eqnarray} \zeta^{k}(s)&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\sum_{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}=n}1\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d_{k}(n)}{n^{s}} \end{eqnarray}
\begin{equation} d(n)=(the\ numer\ of\ divisor\ of\ n) \end{equation}
$n=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}}$と書けた場合
\begin{equation}
d(n)=(m_{1}+1)(m_{2}+1)\cdots(m_{r}+1)
\end{equation}
$n$の約数について考えたとき、約数に含む$p_{k}$の選び方は$m_{k}+1$通り。
$n=p_{1}^{m_1}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}}$と書ける場合は次の事実が成り立つ。
\begin{equation}
d_{k}(n)=\begin{pmatrix}m_{1}+k-1\\m_{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m_{2}+k-1\\m_{2}\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}m_{r}+k-1\\m_{r}\end{pmatrix}
\end{equation}
組み合わせ論的方法で証明する。
[1]まず、$d_k(n)$の定義より、$d_{k}(n)$はn個の積に展開する方法の数を意味しているから、n個の数を区別のできる$k$個の箱$1,2,...,k$に対応付けよう。ちなみに、箱$i$は$n$を$k$個の積に分解したとき左から見て$i$番目の数を表している。
[2]また、素因数$p_{1},p_{2},...,p_{r}$を番号$1,2,...,r$が書かれた球$m_{1},m_{2},...,m_{r}$個に対応付ける。
[3]この時、素因数$p_{1}$に着目すると$p_{1}$に対応する球1をすべて$k$個の箱に割り振る方法は$\begin{pmatrix}m_{1}+k-1\\m_{1}\end{pmatrix}$である。一つ一つの選び方は$n$を$k$個の自然数の積で展開したとき、$p_{1}$がどのように割り振られているかを表している。他も同様。
[4]以上より、それぞれの球の選び方は独立だから積を取って、定理が示された。
\begin{equation} \nu(n)=the\ number\ of\ different\ prime\ factors\ of\ n \end{equation}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\mu(n)|}{n^{s}}\\ \frac{\zeta^{2}(s)}{\zeta(2s)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{\nu(n)}}{n^{s}}\\ \frac{\zeta^{3}(s)}{\zeta(2s)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^{2})}{n^{2}}\\ \frac{\zeta^{4}(s)}{\zeta(2s)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d^{2}(n)}{n^{2}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
上から順番に証明する。
[1]
\begin{eqnarray}
\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1-p^{-2s}}{1-p^{s}}\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+p^{-s})\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\mu(n)|}{n^{s}}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{\zeta^{2}(s)}{\zeta(2s)}&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^{2}}\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+p^{-s})(1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots)\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+2p^{-s}+2p^{-2s}+\cdots)\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{\nu(n)}}{n^{s}}
\end{eqnarray}
[3]
\begin{eqnarray}
\frac{\zeta^{3}(s)}{\zeta(2s)}&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^{3}}\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1+p^{-s}}{(1-p^{-s})^{2}}\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+p^{-s})(1+2p^{-s}+3p^{-2s}+\cdots)\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+3p^{-s}+5p^{-2s}+\cdots)\\
&=&\cdots+(2m_{1}+1)(2m_{2}+1)\cdots(2m_{k}+1)(p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}})^{-s}+\cdots\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^{2})}{n^{s}}
\end{eqnarray}
[4]
\begin{eqnarray}
\frac{\zeta^{4}(s)}{\zeta(2s)}&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^{4}}\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1+p^{-s}}{(1-p^{-s})^{3}}\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+p^{-s})\frac{1}{2}(1\cdot 2+2\cdot 3p^{-s}+3\cdot 4p^{-2s}+\cdots)\\
&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+2^{2}p^{-s}+3^{2}p^{-2s}+\cdots)\\
&=&\cdots +(m_{1}+1)^{2}(m_{2}+1)^{2}\cdots (m_{r}+1)^{2}(p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}})^{-s}+\cdots\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d^{2}(n)}{n^{s}}
\end{eqnarray}
\begin{equation} \lambda(n)=(-1)^{r}\quad(n\ has\ r\ prime\ factors,a\ factor\ of\ degree\ k\ being\ counted\ k\ times) \end{equation}
\begin{equation} \frac{\zeta{(2s)}}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda(n)}{n^{-s}} \end{equation}
\begin{eqnarray} \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1+p^{-s}}\\ &=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1-p^{-s}+p^{-2s}-\cdots)\\ &=&\cdots+(-1)^{m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{r}}(p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}})^{-s}+\cdots\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda(n)}{n^{-s}} \end{eqnarray}
\begin{equation} \phi(n)=the\ number\ of\ numbers\ less\ than\ n\ and\ prime\ to\ n \end{equation}
\begin{equation} \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^{s}} \end{equation}
\begin{eqnarray} \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}&=&\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1-p^{-s}}{1-p^{1-s}}\\ &=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^{s}})(1+\frac{p^{1}}{p^{s}}+\frac{p^{2}}{p^{2s}}+\cdots)\\ &=&\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+(1-\frac{1}{p})(\frac{p^{1}}{p^{-s}}+\frac{p^{2}}{p^{-2s}}+\cdots))\\ &=&\cdots+(1-\frac{1}{p_{1}})(1-\frac{1}{p_{2}})\cdots(1-\frac{1}{p_{r}})p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}}\frac{1}{(p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}})^{s}}+\cdots\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^{s}} \end{eqnarray}
\begin{equation} a(n)=the\ greatest\ odd\ divisor\ of\ n \end{equation}
\begin{equation} \frac{1-2^{1-s}}{1-2^{-s}}\zeta(s-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^{s}} \end{equation}
\begin{eqnarray} \frac{1-2^{1-s}}{1-2^{-s}}\zeta(s-1)&=&\frac{1-2^{1-s}}{1-2^{-s}}\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{1-s}}\\ &=&\frac{1}{1-2^{-s}}\frac{1}{1-3^{1-s}}\frac{1}{1-5^{1-s}}\cdots\\ &=&(1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{2^{2s}}+\cdots)(1+\frac{3}{3^{s}}+\frac{3^{2}}{3^{2s}}+\cdots)(1+\frac{5}{5^{s}}+\frac{5^{2}}{5^{2s}}+\cdots)\cdots\\ &=&\cdots+\frac{p_{p_{2}}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}}}{2^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}}}+\cdots\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^{s}} \end{eqnarray}
互いに素な任意の自然数$a,b$に対して次の性質を持つ関数を乗法的関数と呼ぶ。
\begin{equation}
f(ab)=f(a)f(b)
\end{equation}
任意の乗法的関数に対して以下の事実が成り立つ。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^{s}}=\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^{2})}{p^{2}}+\cdots)
\end{equation}
\begin{eqnarray} \frac{f(p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}})}{(p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}})^{s}}=\frac{f(p_{1}^{m_{1}})}{p_{1}^{m_{1}}}\frac{f(p_{2}^{m_{2}})}{p_{2}^{m_{2}}}\cdots \frac{f(p_{r}^{m_{r}})}{p_{r}^{m_{r}}} \end{eqnarray}
\begin{equation} \sigma_{a}(n)=the\ sum\ of\ ath\ powers\ of\ the\ divisors\ of\ n \end{equation}
\begin{equation} \zeta(s)\zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_{a}(n)}{n^{s}} \end{equation}
\begin{eqnarray} \zeta(s)\zeta(s-a)&=&\sum_{\mu=1}^{\infty}\frac{1}{\mu^{s}}\sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{\nu^{a}}{\nu^{s}}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\sum_{m|n}m^{a}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_{a}(n)}{n^{s}} \end{eqnarray}
\begin{equation} c_{k}(n)=\sum_{h\lt k\land \gcd(h,k)=1}e^{i2n\pi\frac{h}{k}} \end{equation}
\begin{equation} c_{k}(n)=\sum_{h\lt k\land \gcd(h,k)=1}\cos{2n\pi\frac{h}{k}} \end{equation}
[1]$\gcd(h,k)=1\Leftrightarrow \gcd(k-h,k)=1$
実際$gcd(k-h,k)=d$とすると次の様に書ける。
\begin{eqnarray}
&&\exists K\ s.t.\ k-h=dK\\
&&\exists L\ s.t.\ k=dL
\end{eqnarray}
ゆえに、$h=d(-K+L)$を得るので、$d|h$。
しかし、$\gcd(h,k)=1$なので$d=1$
[2]
\begin{eqnarray}
c_{k}(n)&=&\sum_{h\lt k\land \gcd(h,k)=1}e^{i2n\pi\frac{h}{k}}\\
&=&\frac{1}{2}\sum_{h\lt k\land \gcd(h,k)=1}(e^{i2n\pi\frac{h}{k}}+e^{i2n\pi\frac{k-h}{k}})\\
&=&\frac{1}{2}\sum_{h\lt k\land \gcd(h,k)=1}(e^{i2n\pi\frac{h}{k}}+e^{-i2n\pi\frac{h}{k}})\\
&=&\sum_{h\lt k\land \gcd(h,k)=1}\cos{2n\pi\frac{h}{k}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} c_{k}(n)=\sum_{d|k\land d|n}\mu(\frac{k}{d})d\\ \eta_{k}(n)=\sum_{m=0}^{k-1}e^{-i2n\pi\frac{m}{k}}\Rightarrow \sum_{d|k}c_{d}(n)=\eta_{k}(n) \end{array} \right. \end{eqnarray}
[1]まず第二式を証明する。式の意味を図的に考えると、複素平面上で一個の頂点が必ず$(1,0)$を共有し、かつそれぞれの頂点が原点を中心とする単位円上に来るように描かれた正$k$角形の各頂点を余すことなく一回ずつ通ることを示せばいい。
[2]$k=p_{1}^{m_1}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}}$が成り立つとしよう。このとき、$(1,0)$から反時計回りに見て$p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{m}^{e_{m}}q+1$番目の点では次の様に書ける。
\begin{equation}
\frac{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{m}^{e_{m}}q_{1}^{f_{1}}q_{2}^{f_{2}}\cdots q_{s}^{f_{s}}}{p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}}}=\frac{q}{p_{1}^{m_{1}-e_{1}}p_{2}^{m_{2}-e_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}-e_{r}}}\quad(\gcd(q|p_{1}^{m_{1}-e_{1}}p_{2}^{m_{2}-e_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}-e_{r}}))
\end{equation}
[3]つまり$d=p_{1}^{m_{1}-e_{1}}p_{2}^{m_{2}-e_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}-e_{r}}|k$それぞれで$(\gcd(q|p_{1}^{m_{1}-e_{1}}p_{2}^{m_{2}-e_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}-e_{r}})$を満たす$q$について総和をとり、$d$を動かせば正$k$角形上の点すべてを通ることが分かる。
ゆえに、第二式は証明された。
[4]Mobius inversion formulaより第二式を用いると
\begin{equation}
c_{k}(n)=\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})\eta_{d}(n)
\end{equation}
また、簡単な考察により
\begin{eqnarray}
\eta_{d}(n)=\left\{
\begin{array}{l}
d\quad(d|n)\\
0\quad(otherwise)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を得るので最終的に第一式が示された。
\begin{equation}
c_{k}(n)=\sum_{d|k\land d|n}\mu(\frac{k}{d})d
\end{equation}
\begin{equation} \frac{c_{k}(n)}{k^{s}}=\sum_{dr=k\land d|n}\frac{\mu(r)}{r^{s}}d^{1-s} \end{equation}
\begin{eqnarray} \frac{c_{k}(n)}{k^{s}}&=&\frac{1}{k^{s}}\sum_{d|k\land d|n}\mu(\frac{k}{d})d\\ &=&\frac{1}{k^{s}}\sum_{dr=k\land d|n}\mu(r)d\\ &=&\sum_{dr=k\land d|n}\frac{\mu(r)}{r^{s}}d^{1-s} \end{eqnarray}
\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{c_{k}(n)}{k^{s}}=\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)} \end{equation}
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{c_{k}(n)}{k^{s}}&=&\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{dr=k\land d|n}\frac{\mu(r)}{r^{s}}d^{1-s}\\ &=&\sum_{r=1}^{\infty}\frac{\mu(r)}{r^{s}}\sum_{d|n}d^{1-s}\\ &=&\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)} \end{eqnarray}
イメージがわかない人向け
$n=6$の場合
k,d | 1 | 2 | 3 | 6 |
---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 6 | |
2 | 4 | 6 | 12 | |
3 | 6 | 9 | 18 | |
$\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{k}(n)}{n^{s}}=\zeta(s)\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})d^{1-s} \end{equation}
\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{k}(n)}{n^{s}}&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\sum_{d|k\land d|n}\mu(\frac{k}{d})d\\ &=&\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\sum_{d|n}d\\ &=&\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\sum_{dm=n}d\\ &=&\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})d\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{dm=n}\frac{1}{(dm)^{s}}\\ &=&\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})d\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{s}}\\ &=&\zeta(s)\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})d^{1-s} \end{eqnarray}