Bassetの積分表示

$\cos$のMellin変換
\begin{align} \int_0^{\infty}t^{s-1}\cos t\,dt&=\Gamma(s)\cos\frac{\pi s}2 \end{align}
を$\infty$から$0$を正の向きに回って$\infty$に戻るHankel路$C$に変形して
\begin{align} \int_Ct^{s-1}\cos t\,dt&=(e^{2\pi is}-1)\Gamma(s)\cos\frac{\pi s}2 \end{align}
となる. $C$を$|t|>1$となるように変形されているとして, 一般二項定理より
\begin{align} &\int_C\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=\int_Ct^{-2\nu-1}\frac{\cos zt}{(1+t^{-2})^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\left(\nu+\frac 12\right)_n}{n!}\int_Ct^{-2\nu-1-2n}\cos zt\,dt\\ &=(e^{-4\pi i\nu}-1)\cos\pi\nu\sum_{0\leq n}\frac{\left(\nu+\frac 12\right)_n}{n!}\Gamma(-2\nu-2n)z^{2n+2\nu}\\ &=-\frac{(e^{-4\pi i\nu}-1)\pi\cos\pi\nu}{\sin 2\pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 12+n\right)}{n!\Gamma(2\nu+1+2n)}z^{2n+2\nu}\\ &=2ie^{-2\pi i\nu}\frac{\pi^{\frac 32}\cos\pi\nu}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!\Gamma(\nu+1+n)}\left(\frac z2\right)^{2n+2\nu}\\ &=2ie^{-2\pi i\nu}\frac{\pi^{\frac 32}\cos\pi\nu}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}I_{\nu}(z) \end{align}
一方, 被積分関数には$z=\pm i$に特異点があることを考えて, 積分路を変形して$(\infty,0),(0,i),(i,0),(0,-i),(-i,0),(0,\infty)$に分けると
\begin{align} &\int_C\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=(e^{-4\pi i\nu}-1)\int_0^{\infty}\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt+(1+e^{-2\pi i\nu})\int_0^{i}\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &\qquad-e^{-2\pi i\nu}(1+e^{-2\pi i\nu})\int_{0}^{-i}\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=(e^{-4\pi i\nu}-1)\int_0^{\infty}\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt+i(1+e^{-2\pi i\nu})\int_0^1\frac{\cosh zt}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &\qquad+ie^{-2\pi i\nu}(1+e^{-2\pi i\nu})\int_{0}^{1}\frac{\cosh zt}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=(e^{-4\pi i\nu}-1)\int_0^{\infty}\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt+i(1+e^{-2\pi i\nu})^2\int_0^1\frac{\cosh zt}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt \end{align}
となる. よって, これらを比較して
\begin{align} &(e^{-4\pi i\nu}-1)\int_0^{\infty}\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt+i(1+e^{-2\pi i\nu})^2\int_0^1\frac{\cosh zt}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=2ie^{-2\pi i\nu}\frac{\pi^{\frac 32}\cos\pi\nu}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}I_{\nu}(z) \end{align}
を得る. これより
\begin{align} \int_0^{\infty}\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt&=\frac{2ie^{-2\pi i\nu}}{e^{-4\pi i\nu}-1}\frac{\pi^{\frac 32}\cos\pi\nu}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}I_{\nu}(z)-\frac{i(1+e^{-2\pi i\nu})^2}{e^{-4\pi i\nu}-1}\int_0^1\frac{\cosh zt}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=-\frac{\pi^{\frac 32}\cos\pi\nu}{\sin2\pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}I_{\nu}(z)+2\frac{\cos^2 \pi\nu}{\sin 2\pi\nu}\int_0^1\frac{\cosh zt}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=\frac{\cos\pi\nu}{\sin\pi\nu}\int_0^1\frac{\cosh zt}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt-\frac{\pi^{\frac 32}}{2\sin \pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}I_{\nu}(z) \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} &\int_0^1\frac{\cosh zt}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\int_0^1\frac{t^{2n}}{(1-t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt\\ &=\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\frac{\Gamma\left(n+\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 12-\nu\right)}{\Gamma(n+1-\nu)}\\ &=\frac 12\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac 12-\nu\right)\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!\Gamma(n+1-\nu)}\left(\frac z2\right)^{2n}\\ &=\frac{\pi^{\frac 32}}{2\cos\pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}I_{-\nu}(z) \end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align} &\int_0^{\infty}\frac{\cos zt}{(1+t^2)^{\nu+\frac 12}}\,dt \\ &=\frac{\pi^{\frac 32}}{2\sin\pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}I_{-\nu}(z)-\frac{\pi^{\frac 32}}{2\sin \pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}I_{\nu}(z)\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}\frac{\pi}2\frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin\pi\nu}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\left(\frac z2\right)^{\nu}K_{\nu}(z) \end{align}
となって示すべき等式が得られた.